Принцип Гюйгенса – Френеля
В 1690 году Гюйгенс сформулировал принцип, позволивший объяснить процесс распространения волн и из свойства – отражение, преломление и дифракцию.
Суть принципа заключается в следующем: каждая точка среды, до которой дошел волновой процесс, становится источником вторичных сферических волн. Чтобы построить волновой фронт, нужно провести огибающую этих вторичных сферических волн.
Физическое толкование принципа Гюйгенса было дано Френелем: вторичные сферические волны когерентны, они интерферируют. В направлении распространения волны вторичные сферические волны, интерферируя, усиливают друг друга, в противоположном направлении – гасят.
Применим принцип Гюйгенса – Френеля к объяснению явлений отражения и преломления.
Отражением называют явление возвращения волны в первоначальную среду при попадании на границу раздела двух сред.
Пусть на границу раздела двух сред падает плоская волна.
Углом падения называют угол между направлением распространения волны и перпендикуляром к границе раздела двух сред, восстановленным из точки падения (на рис. угол α) .
Видно, что волна дошла до всех точек границы, расположенных левее точки А. Эти точки колеблются, от них бегут вторичные сферические волны.
За то время t, что падающая волна дойдет от точки В до точки С, расположенной на границе раздела, все точки отрезка АС будут вовлечены в колебательный процесс, от них побегут вторичные сферические волны. Волновой фронт отраженной волны строится как огибающая этих вторичных сферических волн.
Направление распространения отраженной волны перпендикулярно фронту отраженной волны. Угол между направлением распространения отраженной волны и перпендикуляром к границе раздела двух сред, восстановленным из точки падения, называется углом отражения (на рис. угол β).
Рассмотрим прямоугольные треугольники ABC и ADC.
С торона АС в этих треугольниках общая. Расстояние АD – это путь, пройденный вторичной волной за то время, пока падающая волна идет от В до С:
где v – скорость распространения волны.
Таким образом, ∆ABC = ∆ADC. В равных треугольниках против равных сторон ( ) находятся одинаковые углы α = β. Угол падения равен углу отражения.
Преломлением называется изменение направления распространения волны при переходе из одной среды в другую.
Пусть плоская волна переходит из среды, где скорость ее распространения равна , в среду, где скорость распространения волны .
За то время t, что падающая волна дойдет от точки В до точки С, расположенной на границе раздела, все точки отрезка АС будут вовлечены в колебательный процесс, от них побегут вторичные сферические волны во вторую среду. Волновой фронт отраженной волны строится как огибающая этих вторичных сферических волн.
Направление распространения прошедшей во вторую среду волны перпендикулярно фронту отраженной волны. Угол между направлением распространения прошедшей волны и перпендикуляром к границе раздела двух сред, восстановленным из точки падения, называется углом преломления (на рис. угол α2).
В прямоугольных треугольниках ABC и ADC
Находим отношение синусов углов падения и преломления
Полученный результат свидетельствует о том, что причиной изменения направления распространения волны при переходе из одной среды в другую является изменение скорости волны.
Дифракция – явление огибания волнами преград и попадания в область геометрической тени.
Например, вы слышите музыку, находясь по обратную сторону летней эстрады. Стоя за глухим высоким забором школьного стадиона, вы слышите крики болельщиков. Круговая волна на поверхности воды, проходя через зазор в преграде, распространяется не параллельным пучком, а расходится, попадает в области за преградой.
Качественное объяснение явлению можно дать, опять-таки используя принцип Гюйгенса – Френеля. От каждой точки отверстия распространяется вторичная сферическая волна. Оказывается, что в области геометрической тени вторичные сферические волны, интерферирую, не гасят друг друга. Таким образом, волна огибает преграду, попадает за преграду. Степень расхождения волны после прохождения отверстия (преграды) зависит от размеров отверстия, длины волны и удаленности наблюдателя от отверстия (в точке А на рисунке волны нет, а в точку В волна пришла). Чем меньше отверстие (преграда), тем степень расхождения (схождения) волны за ней будет больше.
Принцип Гюйгенса
Представьте себе волну на поверхности водоема. Проще всего, казалось бы, описать волновое движение воды чисто механически — рассчитать силы гидродинамического давления, действующие на частицы водной поверхности снизу, и противодействующие им силы гравитационного притяжения, суммарное воздействие которых и приводит к тому, что поверхность ритмично колышется вверх-вниз. Однако в конце XVII века голландский физик Христиан Гюйгенс представил себе волновую картину несколько по-иному и вывел, благодаря этому, мощный принцип, в равной мере применимый к любым волнам — начиная от волн на водной поверхности и заканчивая гамма-излучением далеких галактик.
Смысл принципа Гюйгенса проще всего понять, если представить себе, что гребень волны на водной поверхности на мгновение застыл. Теперь представьте, что в этот миг вдоль всего фронта волны в каждую точку гребня брошено по камню, в результате чего каждая точка гребня становится источником новой круговой волны. Практически всюду вновь возбужденные волны взаимно погасятся и не проявятся на водной поверхности. И лишь вдоль фронта исходной волны вторичные маленькие волны взаимно усилятся и образуют новый волновой фронт, параллельный предыдущему и отстоящий от него на некоторое расстояние. Именно по такой схеме, согласно принципу Гюйгенса, и распространяется волна.
Так почему столь парадоксальный, казалось бы, взгляд на столь обычное природное явление, как распространение волн, оказывается полезен ученым? Представьте, что будет при столкновении волны с препятствием на пути ее распространения. Вернемся к примеру волны на водной поверхности и представим, что волна ударилась о бетонный волнорез под углом к нему. Согласно принципу Гюйгенса, из тех точек волнового фронта, которые пришлись на волнорез, вторичные волны распространяться не будут, а из остальных будут. В результате волна продолжит свой путь и восстановится позади волнореза. То есть, фактически, при столкновении с препятствием волна спокойно огибает его, и любой моряк вам это подтвердит. (Это свойство волн называется дифракцией.)
Имеется и целый ряд других полезных применений принципа Гюйгенса при рассмотрении волновых явлений — порой весьма неожиданных. Он широко используется в волновой оптике и в телекоммуникационной инженерии, где волны (световые и радио- соответственно) регулярно сталкиваются с препятствиями на пути их распространения и огибают их.
К этому открытию Гюйгенса привели занятия астрономией, для развития которой он сделал немало, в частности, став в 1655 году первооткрывателем Титана — самого большого спутника Сатурна. Автоматическая космическая станция НАСА «Кассини» в 2004 году должна достигнуть Сатурна и отправить на поверхность Титана спускаемый аппарат для исследования состава его атмосферы и грунта. Этот спускаемый аппарат называется «Гюйгенс». Так наука чтит своих основателей.
Принцип Гюйгенса — Френеля: формулировка, объяснение
Принцип Гюйгенса (от англ. Huygens‑Fresnel principle) — Френеля формулируется следующим образом: каждый элемент волнового фронта можно рассматривать как центр вторичного возмущения, порождающего вторичные сферические волны, а результирующее световое поле в каждой точке пространства будет определяться интерференцией этих волн.
Другими словами, принцип Гюйгенса-Френеля описывает, как волна распространяется через среду. Он гласит, что каждая точка, достигнутая волной, может рассматриваться как источник новой сферической волны с частотой, равной частоте падающей волны.
Принцип Гюйгенса — Френеля позволяет наглядно и геометрически объяснить такие явления, как отражение. Узнать, более подробно о том, что такое принцип Гюйгенса — Френеля, вы сможете прочитав далее эту статью.
Принцип Гюйгенса — Френеля простыми словами.
В 1678 году Христиан Гюйгенс разработал правило, с помощью которого он хотел описать распространение света. Это правило называется принципом Гюйгенса. Френель в 1815 году дополнил принцип Гюйгенса, введя представления о когерентности и интерференции элементарных волн, что позволило рассматривать на основе принципа Гюйгенса — Френеля и дифракционные явления.
Построение по принципу Гюйгенса основано на следующих соображениях: каждая точка на волновом фронте распространяющейся волны является центром для сферических или круговых элементарных волн, которые распространяются в той же среде с той же скоростью и частотой, что и исходная волна. Фронт волны, рассматриваемый в более поздний момент времени, называется огибающей всех элементарных волн.
В первоначальной формулировке принципа Гюйгенса рассматривалось распространение элементарных волн только в прямом направлении. Только в 1991 году Дэвид А. Б. Миллер смог решить проблему элементарных волн, распространяющихся в обратном направлении.
Распространение волны
Таким образом, принцип Гюйгенса гласит, что каждая точка на фронте распространяющейся волны может рассматриваться как начальная точка элементарных волн той же частоты и длины волны, которые также распространяются с той же скоростью. Волновой фронт в более поздний момент времени представляет собой огибающую всех элементарных волн.
Но что подразумевается под волновым фронтом и что именно подразумевается под огибающей? Ответ вы найдете в этом разделе статьи. Мы рассмотрим электромагнитные волны, но эти утверждения применимы и к механическим волнам.
Волновой фронт и огибающая
Волна, от которой все точки затем излучают дальнейшие волны, называется первичной волной. Волны, которые излучаются из этих точек, называются элементарными или вторичными волнами.
Возможно, вы знаете, как характеризуется электромагнитная волна. Электромагнитная волна характеризуется пространственным периодом (длина волны), временным периодом (частота), направлением распространения и амплитудой соответствующего компонента поля (это два числа для электрического и магнитного полей). Волна, как правило, представляет собой периодическое явление как в пространстве, так и во времени. Поэтому волне можно присвоить не только временной, но и пространственный период.
Волновой фронт.
Что именно означают эти термины, поначалу не так важно. Важно только, чтобы вы точно знали, что волна делает в определенной точке пространства в определенный момент времени. Колеблется ли она вверх или вниз, насколько высоко она вообще колеблется и так далее. Но это информация только в одной точке.
Но как это будет выглядеть, если, например, оставить точку во времени той же, но немного сместиться перпендикулярно направлению распространения волны. Опять же, вам придется использовать все параметры, чтобы определить, как поведет себя волна в этой точке. Конечно, это относится и ко всем другим точкам, которых можно достичь, перемещаясь в пространстве.
Здесь вам поможет волновой фронт. Волновой фронт соединяет все точки, в которых волна имеет точно такое же поведение в определенный момент времени. Поэтому если вы будете двигаться вдоль фронта волны, поведение волны не изменится. Например, если вы находитесь на гребне волны, то вы всегда будете находиться на гребне точно такой же высоты вдоль соответствующего фронта волны.
Такое «точно такое же поведение в определенное время» иногда можно встретить и под названием «фаза». Здесь важна визуальная информация, которую вы получаете от волновых фронтов. Волновые фронты говорят не только о том, как ведет себя волна, но и в каком направлении она распространяется. Направление распространения волны всегда перпендикулярно волновым фронтам.
Рис. 1. Волновой фронт
Итак, волновой фронт (от англ. wavefront) — набор точек в пространстве с одинаковой фазой колебаний.
Огибающая элементарных волн.
Теперь вы знаете, что такое волновой фронт. Давайте используем эти знания.
Рассмотрим волновой фронт, который имеет форму вертикальной линии. Такой волновой фронт характерен для волны, называемой плоской волной. По этой линии, согласно принципу Гюйгенса — Френеля, каждая точка излучает вторичные волны. Волновые фронты этих вторичных волн представляют собой не линии, а полукруги. Такие волны называются круговыми или сферическими.
Теперь мы ждем определенное время t и затем интересуемся, где будет находиться новый волновой фронт распространяющейся первичной волны. Круговые волновые фронты вторичных волн будут иметь радиус v * t, где v — скорость распространения волны.
Поскольку фронт волны в начале был вертикальной линией, все полукруги вдоль этой линии имеют одинаковую ориентацию. Если теперь провести общую касательную к каждому из этих полукругов, то получится новая вертикальная линия. Эта новая вертикальная линия — просто волновой фронт первичной волны в более поздний момент времени. Вместо «общей касательной к полукругам» вы также найдете более короткое обозначение огибающей всех элементарных волн, иногда просто огибающей.
Если сама первичная волна является не плоской, а круговой, то разница заключается только в ориентации полукругов. Тогда общая касательная будет уже не прямой линией, как вы привыкли видеть в касательных, а кривой линией.
В итоге при построении огибающей вы делаете следующее: вы рисуете пару полукругов, центры которых лежат на волновом фронте первичной волны и радиус которых пропорционален прошедшему времени. Затем находите линию, изогнутую или не изогнутую, которая касается, но не пересекает каждую окружность. Эта линия является огибающей и, следовательно, новым волновым фронтом в более поздний момент времени.
Рис. 2. Огибающая волн
Отражение
Если мы хотим использовать принцип Гюйгенса — Френеля для описания отражения (позже также для преломления), то мы должны внести небольшое изменение в конструкцию огибающей. Центры элементарных волн находятся уже не на волновом фронте первичной волны, а на границе раздела двух сред, с которыми сталкивается первичная волна.
Принцип Гюйгенса сначала был применен к отражению. Волновой фронт падает на граничную поверхность с углом падения θe относительно перпендикуляра в точке F. Как мы уже упоминали в разделе о волновом фронте, направление распространения всегда перпендикулярно волновому фронту. Это показано стрелками.
Без наличия граничной поверхности AB волновой фронт CE распространялся бы до волнового фронта JL. Точка E проходит через точки H и L. За время, в течение которого точка E распространяется от H до L, точка D переместится из G в K. В процессе точка D столкнется с фронтом волны JL. При этом точка D сталкивается с пограничной поверхностью в точке I, которая теперь образует центр элементарной волны с радиусом IK. Аналогично, за тот же промежуток времени точка C переместится в F, а затем в J, но столкнется с пограничной поверхностью в точке F.
Поэтому элементарная волна с точкой F в качестве центра будет иметь радиус FJ в тот момент, когда точка E переместится в L. Новый волновой фронт LN может быть построен как касательная к двум окружностям и дает новое направление распространения (нормаль к волновому фронту LN). Отраженная волна распространяется с углом отражения θr относительно перпендикуляра.
Рис. 3. Отражение волн, согласно принципа Гюйгенса — Френеля
Преломление
Изменение показателя преломления приводит к изменению скорости распространения. Поэтому радиус элементарных волн в области с показателем преломления n2 также изменяется. Именно это изменение приводит к наблюдению преломления, которое мы покажем вам в этом подразделе.
Для этой цели мы произвольно предполагаем, что показатель преломления n2 больше показателя преломления n1. Больший показатель преломления среды сопровождается меньшей скоростью распространения волны в этой среде. Без границы раздела AB волновой фронт CE превратился бы в волновой фронт JL, когда точка E достигла бы точки L.
В случае отражения элементарная волна вокруг точки F, после того как точка E переместилась в L, будет иметь радиус r1. Поскольку мы предположили n2 > n1, радиус r2 элементарной волны во второй среде меньше радиуса r1 той же элементарной волны в первой среде в n1 / n2 раз.
Поэтому построение нового волнового фронта во второй среде аналогично построению в случае отражения. Единственное отличие заключается в том, что круги имеют меньший радиус. Это снова приводит к новому волновому фронту LN волны во второй среде как касательной к двум окружностям. Вы также получите новое направление распространения, нарисовав вертикальные линии на этом волновом фронте. Преломленная волна распространяется во второй среде под углом θt относительно перпендикуляра в точке F. Видно, что этот угол меньше, чем перпендикуляр в точке F. Вы можете видеть, что этот угол меньше угла отражения. Причиной этого является именно более низкая скорость распространения из-за более высокого показателя преломления.
Рис. 4. Преломление волн, согласно принципа Гюйгенса — Френеля
Дифракция
Наконец, мы покажем вам, как принцип Гюйгенса — Френеля помогает нам геометрически объяснить дифракцию волн.
Для этого предположим, что мы смотрим на плоскую волну, попадающую в отверстие. Интерес представляет только та часть волнового фронта, которая находится внутри отверстия. Волновой фронт за пределами отверстия «заблокирован» и поэтому не имеет значения.
Теперь принцип Гюйгенса — Френеля предписывает нам выбрать точки вдоль волнового фронта внутри отверстия, которые действуют как центры для элементарных волн. Мы произвольно выбираем несколько точек и рисуем фронты круговых волн для нескольких различных моментов времени.
Аналогично, принцип Гюйгенса — Френеля гласит, что новый волновой фронт первичной волны в более позднее время является просто огибающей элементарных волн. Поэтому в какой-то момент мы перестаем рисовать полукруги и ищем линию, которая касается всех окружностей, но не пересекает их. Эта линия и есть искомый волновой фронт. Если теперь вы проведете еще несколько линий перпендикулярно фронту волны, вы найдете направление распространения волны после открытия. Что вы видите? Волна после открытия, кажется, распространяется в области, которые не лежат на прямолинейном движении плоской волны. И именно это отклонение от «прямолинейного движения» называется дифракцией. Вы также можете встретить термин «волна распространяется в геометрической тени».
Все это в конечном итоге означает следующее: если расширить отверстие до прямоугольника, то все, что находится за пределами этого прямоугольника, называется «геометрической тенью». Теперь, если вместо плоской волны представить горизонтальные линии, указывающие направление распространения, то можно ожидать, что они останутся внутри прямоугольника. Но это не так, и такое наблюдение называется дифракцией. Принцип Гюйгенса — Френеля позволяет наглядно объяснить это наблюдение.
Рис. 5. Дифракция волн, согласно принципа Гюйгенса — Френеля
Принцип Гюйгенса — Френеля
Важнейший принцип, объясняющий законы распространения, преломления и отражения световых волн, называется принципом Гюйгенса — Френеля. Кратко рассмотрим суть этого принципа.
Принцип Гюйгенса
Законы геометрической оптики были установлены еще в античности. Однако их полное объяснение в то время было невозможно. Закон отражения света можно было объяснить с механистической позиции по аналогии с упругим ударом шарика о стену. Свету приписывалось корпускулярное строение, и отражение его объяснялось отражением «частиц света» подобно отскоку мяча. Однако закон преломления с механистической точки зрения объяснить было невозможно.
Рис. 1. Законы геометрической оптики.
Лишь во второй половине XVII в. Х. Гюйгенс предложил принцип, который смог объяснить геометрическую оптику. Принцип Гюйгенса гласит, что каждая точка среды, до которой дошла волна, сама становится источником волны. И волновая поверхность в следующий момент времени является огибающей всех этих волн от вторичных источников.
Хотя принцип Гюйгенса впервые был применен именно к свету, этот принцип легче всего понять на механической аналогии, поскольку он не зависит от физической природы волн.
В самом деле, если поглядеть на образование волн на поверхности воды, можно убедиться, что их распространение обусловлено именно тем, что молекулы воды, до которых дошло колебание, сами начинают колебаться и передают колебания соседним молекулам. Говоря простыми словами, препятствия прекращают распространение волн именно потому, что они не дают колеблющимся молекулам воды быть вторичными источниками.
Принцип Гюйгенса — Френеля
К началу XIX в. в физике света были открыты явления, которые требовали пересмотра принципа Гюйгенса. В частности, этот принцип не мог объяснить нечеткие границы теней и появление на границах радужных зон. Поэтому в первой половине XIX в. О. Френель ввел понятия когерентности волн и их интерференции, а для принципа Гюйгенса он предложил следующую формулировку.
Каждый элемент волнового фронта является источником вторичной сферической волны, а результирующий волновой фронт в каждый следующий момент времени определяется интерференцией этих волн.
Рис. 2. Распространение волн Гюйгенса — Френеля.
Для объяснении дифракции света принцип Гюйгенса — Френеля учитывает разность фаз и амплитуд вторичных источников. Интерференция этих волн и дает на экране дифракционную картину.
Эта теория также смогла объяснить и прямолинейность распространения света. Несмотря на то, что каждый вторичный источник порождает сферическую волну, волны, направления которых не совпадают с нормалью к волновому фронту, в результате интерференции взаимно гасятся. Поэтому распространение волнового фронта происходит только по нормали — то есть прямолинейно.
Дальнейшее развитие принцип Гюйгенса — Френеля получил в работах Г. Кирхгофа, который придал принципу строгий математический вид, а также доказал, что он является следствием интегральной теоремы Кирхгофа — Гельмгольца.
Хорошей иллюстрацией действия принципа Гюйгенса — Френеля является опыт с зонной пластинкой. Зонная пластинка — это круглый экран, на котором нанесены кольца так, чтобы перекрывать волны от вторичных источников, которые в результате интерференции гасят друг друга. В результате световая волна, проходя зонную пластинку, усиливается и фокусируется. Происходит удивительная вещь: после перекрытия части светового потока результирующий поток становится сильнее.
Рис. 3. Опыт с зонной пластинкой Френеля.
Что мы узнали?
Принцип Гюйгенса — Френеля гласит, что каждый элемент волнового фронта сам становится источником волны. А результирующий волновой фронт определяется интерференцией волн от этих вторичных источников. Принцип Гюйгенса — Френеля смог объяснить явление дифракции. Строгую математическую форму он принял в работах Г. Кирхгофа.