Второе правило кирхгофа утверждает что

Второй закон Кирхгофа

Все электрические сети подключаются к источнику питания, иначе это не цепь, а набор деталей. Это может быть батарейка, аккумулятор или понижающая трансформаторная подстанция.

Эти элементы сети вместе с электропроводкой и электроприборами составляют контур, распределение потенциалов в котором описывается второй закон Кирхгофа.

Определение второго правила Кирхгофа

Этот закон определяет напряжение и ЭДС (E) на различных элементах цепи и применяется к замкнутой сети или контуру. Поэтому он также известен как закон петли Кирхгофа.

Второе правило так же носит название закон напряжения Кирхгофа. Оно выводится из закона сохранения энергии, что можно понять из следующего явления.

В замкнутом контуре количество полученного заряда равно количеству потерянной энергии, которая происходит из-за падения напряжения на резисторах, включенных в эту цепь. Следовательно, сумма подъёмов и падений потенциалов в замкнутой цепи должна быть равна нулю. Математически это можно представить как ΣU=0.

Формулировка №1 : алгебраическая сумма падений напряжений в любом замкнутом контуре, равна алгебраической сумме ЭДС вдоль того же контура.

Формулировка №2 : алгебраическая сумма напряжений (не падений напряжения!) вдоль любого замкнутого контура равна нулю.

Иначе говоря, внутри любого замкнутой сети сумма напряжений на всех элементах, поставляющих в сеть электрическую энергию, таких как батареи, генераторы или трансформаторы, должна равняться сумме напряжений на всех деталях, потребляющих электроэнергию.

Это является следствием двух законов — сохранения заряда и сохранения энергии. При этом второе правило Кирхгофа гласит, что электродвижущая сила или ЭДС, действующая на элементы замкнутого контура, должна быть равна сумме разностей потенциалов, имеющихся на всех составляющих этого контура.

При этом нужно принимать во внимание не только падение напряжения на пассивных элементах, но и внутреннее сопротивление источника питания.

Важно! При наличии в цепи ёмкостного или индуктивного сопротивления следует учитывать не только активное, но и реактивное или полное падение напряжения.

Физический смысл второго закона Кирхгофа

2 закон Кирхгофа позволяет выразить в числовой форме связь между ЭДС и падением напряжения на элементах замкнутой сети. Эти величины должны быть одинаковыми, иначе нарушается один из фундаментальных законов о сохранении энергии, сформулированный ещё Михаилом Ломоносовым и другими учёными:

• если бы ΣE > ΣU, то какая-то часть энергии источника питания исчезала бы бесследно;
• если бы ΣE < ΣU, то стало бы возможным создание «вечного» двигателя и получать энергию из «ниоткуда».

Оба этих явления ни разу не наблюдались экспериментально и, следовательно, являются невозможными.

Расчёты, использующие законы Кирхгофа, применяются при определении параметров электрических цепей. Есть два закона Кирхгофа: первый или закон тока и второй или закон напряжения. С их помощью составляются уравнения для отдельных компонентов (резисторов, конденсаторов и катушек индуктивности).

Применяя правила Кирхгофа, можно получить уравнения, позволяющие находить неизвестные данные. Это токи, ЭДС, напряжение и сопротивления для определения создается система уравнений, которых должно быть столько же, сколько имеется неизвестных. При этом уравнения могут иметь два решения, определяющие знаки различных величин.

Применяя первое правило Кирхгофа необходимо пометить ток в каждой ветви и решить, в каком направлении он течет. При этом отсутствует опасность выбора неправильного направления потому что, если оно было выбрано неверно, ток будет правильной величины, но c отрицательным значением, что не повлияет на конечный результат.

Применяя второе правило Кирхгофа, правило петли, нужно найти замкнутую цепь (контур) и решить, в каком направлении производить её обход, по часовой стрелке или против. При этом обход цепи в противоположном направлении меняет знак каждого члена в уравнении, что соответствует умножению обеих частей уравнения на -1.

Применение законов Кирхгофа имеют ограничения. В некоторых ситуациях составит правильные уравнения сложно, а иногда невозможно. Правила Кирхгофа предназначены для сетей постоянного тока, поэтому при увеличении частоты растут неучтённые потери из-за ёмкостного и индуктивного сопротивления проводов.

Уравнение для второго закона Кирхгофа

Формула второго закона Кирхгофа может выражаться двумя способами — ΣE=ΣIR и ΣU=0. Более удобной для использования считается первое выражение. При расчёте используется алгебраическое сложение с использованием не только величины, но знака потенциала.

При этом на принципиальной схеме произвольным образом выбирается направление прохождения замкнутой цепи и так же случайно определяется направление электрического тока. Возле всех элементов отмечаются знаки для ЭДС и падений напряжения по следующим правилам:

• при совпадении направлений обхода контура и источника питания, ЭДС присваивают знак «+», в противном случае элемент имеет знак «-«;
• при одинаковом направлении тока и обхода контура, произведение (IR) имеет знак «+», иначе ему присваивается знак «-«.

В результате обхода сумма потенциалов, меняя знак и величину, должна вернуться к нулевому значению. Если это не произошло, значит, была допущена ошибка при подсчёте или не был учён какой-либо либо фактор, например, ёмкость проводов или внутреннее сопротивление элементов питания.

Несмотря та то, что направление электрического тока может выбираться любым, рекомендуется его принимать от «+» к «-» в цепи постоянного тока и от «L» к «N» в сети переменного тока.

Важно! Контур может быть не самостоятельным элементом, а частью схемы бОльших размеров. В этом случае источником напряжения является не батарея, а узлы подающие питание.

У закона напряжения Кирхгофа есть несколько практических выводов, каждый из которых может использоваться в соответствующей ситуации:

• В сложной схеме можно выделить несколько контуров, каждый из которых рассчитывается по-отдельности. Алгебраические суммы ЭДС и напряжений в таком контуре равны ΣE=ΣU.
• Если в контуре нет источников питания, то ток в цепи отсутствует. В такой системе из-за отсутствия падения напряжения на резисторах ΣU=0.

Расчеты электрической цепи

Для примера рассмотрим схему с двумя источниками питания, включёнными параллельно. При этом одна ЭДС напряжением Е1=10 В, вторая Е2=20 В. Сопротивление нагрузки R1=10 Ом, R2=20 Ом, R3=40 Ом.

Прежде всего, необходимо выделить отдельные контуры и выбрать направление обхода контура и протекания тока. При этом, используя первый закон Кирхгофа, в нагрузке: I1+I2=I3.

Применяя второй закон Кирхгофа и приведенное выше правило о знаках, в первого контура получается следующее выражение: I1•R1+I3•R3 = E1, 10I1+40I3 = 10, или I1+4I3 = 1.

Для второго контура расчёт получится: I2•R2+I3•R3 = E2, 20I2+40I3 = 20, или 2I3+I2 = 1.

Для третьего контура: I1•R1-I2•R2 = E1-E2, 10I1-20I2 = 10-20, или -I1+2I2= 1.

Используя формулу I1+I2=I3 из первого закона Кирхгофа, подставляем выражение (0*) в выражение (1*): I1 +4(I1+I2) = 1, или 5I1+4I2 = 1.

Затем подставляем в выражение (2*) в выражение (0*). Уравнение для второго контура преобразовывается в выражение: 2(I1+I2)+I2 = 1, или 2I1+3I2 = 1

Теперь ток I1 можно найти из (выражения 5* подставляем в 4*): 2I1+3I2 = 5I1+4I2, или I1 = -(1/3)I2

Используя последнее уравнение и уравнение для третьего контура получаем ток I2:

Находим ток I1: I1 = -(1/3)•0,429 = -0,143 А.

Ток I3: I3 = I1+I2 = 0,429-0,143 = 0,286 А.

• I2=0,429 А;
• I1=–0,143 А;
• I3=0,286 А;

Друзья еще один пример решения уравнений по 1-му и 2-му законам Кирхгофа:

Вывод

Второй закон Кирхгофа гласит, что алгебраическая сумма падений напряжений в любом замкнутом контуре равна алгебраической сумме ЭДС, действующих вдоль этого контура.

Это означает, что энергия, подаваемая батареей, расходуется всеми остальными компонентами цепи, поскольку энергия не может войти или выйти из замкнутого контура. Правило представляет собой применение закона сохранения энергии с точки зрения разности электрических потенциалов.

Другими словами — энергия сохраняется. Общее количество вложенной энергии (сумма ЭДС) равно общему количеству отведенной энергии (сумма падений напряжений). Этот закон используется для анализа сложных электросхем, которые нельзя рассчитать более простыми методами.

2.7. Правила Кирхгофа

Простые электрические цепи достаточно легко рассчитываются с применением законов Ома и законов последовательного и параллельного соединения проводов. Более сложные разветвленные электрические цепи удобнее рассчитывать при помощи правил Кирхгофа.

Рассмотрим произвольную разветвленную цепь, на отдельных участках которой включены источники тока с известными характеристиками. Точка цепи, в которой сходится более двух проводов (рис. 2.13), называется узлом.

Первое правило Киргхофа.Сумма токов втекающих в узел равна сумме токов, вытекающих из узла:

. (2.19)

Эквивалентная формулировка первого правила Кирхгофа: алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле, равна нулю . При этом втекающим и вытекающим из узла токам приписываются противоположные знаки. В нашем случае (рис. 2.13):.

Первое правило Кирхгофа, по сути, является следствием закона сохранения заряда. Оно также отражает тот факт, что при постоянном токе в узле не происходит нарастающее во времени накопление заряда того или иного знака. Для этого нужно, чтобы количество заряда, втекающее в узел в единицу времени, было равно количеству заряда, вытекающего из него.

Второе правило Кирхгофа. В произвольном замкнутом контуре алгебраическая сумма ЭДС, действующих в этом контуре, рана сумме падений напряжений на отдельных участках этого контура:

(2.20)

Некоторые слагаемые в (2.20) как слева, так и справа могут быть отрицательными. При решении конкретных задач токи на отдельных участках первоначально расставляются произвольным образом. Затем произвольным образом выбирается положительное направление обхода замкнутого контура (по часовой или против часовой стрелки). Если ток течет вдоль положительного направления, его берут со знаком «+», если против положительного направления – со знаком «». Если ЭДС действует вдоль положительного направления, т.е. при обходе контура источник проходится от клеммы «» к клемме «+», то значение ЭДС берется со знаком «+», и наоборот. Если в результате расчета сила тока получится отрицательной, то значит, мы не угадали направление тока на данном участке и его просто следует изменить на противоположное. Сама же величина тока, независимо от того, как мы расставим токи в начале решения задачи, получится правильной.

Для доказательства второго пра­ви­ла Кирхгофа рассмотрим произ­вольный замкнутый контур в цепи, который в общем случае может включать в себя внешние сопротивления и ЭДС на каждом участке (от узла до узла). Положительным будем считать направление по часовой стрелке. Пусть для определенности наш контур включает три участка (рис. 2.14). Направление токов расставим произ­воль­но. Применим закон Ома (2.18) к каж­до­му из трех неоднородных участков цепи. Для первого участка 2-1 работа элек­три­ческого поля положительна, а работа источника (он заряжается) отрицательна, поэтому:

.

На втором участке цепи 2-3 также работа электрического поля положительна, а работа источника отрицательна, поэтому:

.

На третьем участке цепи 3-1 работа источника положительна, поэтому:

.

Сложим правые и левые части трех последних уравнений, предварительно домножив первое уравнение на «1». Тогда все потенциалы сократятся, в результате получим:

.

Последнее уравнение совпадает с формулировкой второго правила Кирхгофа (2.20) с учетом всех замечаний, сделанных по поводу знаков токов и ЭДС (выражения типа можно формально рассматривать как падения напряжений на внутренних сопротивлениях).

Отметим, что второе правило Кирхгофа, являясь следствием закона Ома для неоднородного участка цепи, по сути дела является следствием закона сохранения энергии.

Правила Кирхгофа применимы и в том случае, когда в цепь включены неомические, т.е. не подчиняющиеся закону Ома () элементы. Такие элементы еще называются нелинейными, поскольку зависимость напряжения на них от силы тока нелинейная. Нелинейными являются, например, большинство радиотехнических элементов: диоды, транзисторы, электронные лампы. Расчеты ведутся также, только падение напряжения на нелинейном элементе следует обозначать не, а. Второе правило Кирхгофа при этом имеет вид:.

Пример 2.9. Параллельное соединение источников тока. В схеме на рис. 2.15 ₁=14 В, Ом,₂=12 В, Ом,Ом. Определить токи во всех ветвях.

Решение. Произвольно расставим токи во всех ветвях (рис. 2.15).

В цепи имеется два узла: В и Е. Запишем первое правило Кирхгофа для узла В (для узла Е получится то же самое уравнение):

.

Так как в задаче три неизвестных тока, необходимо три уравнения. Для этого достаточно рассмотреть какие-либо два замкнутых контура цепи и записать для них второе правило Кирхгофа.

Контур АВЕFA: .

Контур АВСDEFA: .

Отметим, что положительное направление обхода контуров задает последовательность букв, которыми они обозначены. Например, в контуре АВЕFA положительное направление обхода – по часовой стрелке. Напомним, что ЭДС первого источника взята со знаком «+», так как при движении вдоль контура по часовой стрелке он проходится от клеммы «» к клемме «+». ЭДС второго источника взята со знаком минус, так как при движении по часовой стрелке он проходится от клеммы «+» к клемме «». В правой части уравнения оба тока взяты знаком «+», поскольку они текут вдоль положительного направления обхода — по часовой стрелке. Такие же правила использованы и для контура АВСDEFA.

Перед решением полученной систему из трех уравнений удобно подставить в них известные величины:

В результате решения системы получаем ответ: А,А,А. Так как все токи получились положительными, их направления были случайно указаны верно.

Анализируя полученный результат, можно сделать вывод, что первый источник питает не только нагрузку , но и заряжает второй источник. Второй источник играет роль «паразита». Однако такая схема все-таки иногда используется на практике. Например, в системах электрического питания автомобилей роль первого источника играет генератор постоянного тока, а роль второго – аккумулятор. Если на питание нагрузки расходуются небольшие токи (общее сопротивление внешней цепи велико), то генератор не только питает нагрузку, но и еще подзаряжает аккумулятор. При увеличении тока, потребляемого нагрузкой, направление тока(рис. 2.15) может изменится, и аккумулятор начинает разряжаться, работая синхронно с генератором. Допустим, что к нагрузке(рис. 2.15) параллельно подключена еще точно такая же нагрузка. Тогда сопротивление внешней цепи становится равнымОм. Третье уравнение системы изменится, и решение становится другим:А,А,А. Отрицательное значение второго тока и свидетельствует о том, что он теперь направлен в сторону, противоположную указанной на рис. 2.15, т.е. разряжается.

Второе правило Кирхгофа

Второе правило Кирхгофа – это один из приемов, который применяют для упрощения расчетов параметров сложных разветвленных цепей постоянного тока. Электрические цепи постоянного тока могут иметь в своем составе большое число сопротивлений, источников тока, множество замкнутых контуров и узлов. Параметры цепи постоянного тока любой сложности можно вычислить, если применять законы Ома и законы сохранения заряда. Правила Кирхгофа являются следствиями вышеназванных законов, с их помощью можно значительно упростить процедуру написания уравнений, связывающих силы тока, сопротивления и электродвижущие силы (ЭДС) для рассматриваемой цепи.

Первое правило Кирхгофа называют правилом узлов. Оно предназначено для написания уравнения для токов, которые сходятся в узле цепи.

Второе правило Кирхгофа относится к замкнутым контурам, которые выделяют в разветвленной цепи. Это правило еще называют правилом контуров.

Формулировка второго правила Кирхгофа

Суммы произведений алгебраических величин сил тока на внешние и внутренние сопротивления всех участков замкнутого контура равны алгебраической сумме величин сторонних электродвижущих сил (ЭДС) (), которые входят в рассматриваемый контур. В виде формулы второй закон Кирхгофа записывают как:

Величины называют падениями напряжения. До применения второго закона Кирхгофа выбирают положительное направление обхода контура. Это направление берется произвольно, либо по часовой стрелке, либо против нее. Если направление обхода совпадает с направлением течения тока в рассматриваемом элементе контура, то падение напряжения в формулу второго правила для данного контура входит со знаком плюс. ЭДС считают положительной, если при движении по контуру (в избранном направлении) первым встречается отрицательный полюс источника. Более правильно было бы сказать, что ЭДС считают положительной, если работа сторонних сил по перемещению единичного положительного заряда на рассматриваемом участке цепи в заданном направлении обхода контура является положительной величиной.

Второе правило Кирхгофа — это следствие закона Ома.

Количество независимых уравнений, получаемых при использовании правил Кирхгофа

Применяя второе правило Кирхгофа можно получить независимые уравнения для тех контуров цепи, которые не получены наложением уже рассмотренных контуров. Число независимых контуров () равно:

где – число ветвей в цепи; – количество узлов.

Количество независимых уравнений, которые дадут первое и второе правила Кирхгофа равно ():

Вывод: количество независимых уравнений, полученных с использованием обоих правил Кирхгофа равно числу разных токов в рассматриваемой цепи.

Примеры решения задач

Обходя контур будем двигаться по часовой стрелке. Применяя второе правило Кирхгофа для контура ADFEA получим уравнение:

Для контура EABCDFE имеем:

Мы получили систему из трех независимых уравнений для трех неизвестных:

Из полученной системы выразим искомую ЭДС ():

Для решения задачи одного уравнения будет не достаточно, поэтому для узла O применим правило узлов (положительными токами будем считать входящие в узел токи):

Мы получили систему независимых уравнений:

Из этой системы выразим искомый ток :

Первый и второй законы Кирхгофа

Некоторые электрические цепи можно изобразить в виде простого контура, содержащего источник питания и небольшое количество деталей — резисторов, конденсаторов или других. Но существуют и большие схемы, включающие в себя несколько замкнутых ветвей. В этих случаях важно точно рассчитать электрические параметры на любом рассматриваемом участке. Законы Кирхгофа позволяют их определить путём составления и решения нескольких простых уравнений.

Первый закон Кирхгофа

Закон Ома описывает взаимосвязь между напряжением, сопротивлением и силой тока в простых одноконтурных цепях. На практике чаще встречаются сложные разветвленные цепи, состоящие из нескольких контуров и многих узлов, которые невозможно описать, применяя стандартные правила для расчета последовательных и параллельных цепей.

Определить напряжение и силу тока в разветвленных цепях позволяют правила Кирхгофа, которые в технической литературе обычно называют законами Кирхгофа. Хотя более корректным следует считать название «правила», поскольку они не являются фундаментальными законами природы. Например, первое правило Кирхгофа вытекает из закона сохранения заряда. Оно гласит, что сумма всех токов в каждом узле электроцепи равна нулю.

Формулировка закона требует уточнения следующих терминов:

• Узел — это определённое место на схеме, в котором сходится 3 или большее количество проводов. Узлами можно назвать точки, расположенные на протяжении 1 провода, если в этих местах подсоединены ещё провода.
• Движение тока, направленного к определённому узлу, условно называют положительным, противоположное — отрицательным.

Закон Кирхгофа, если говорить простыми словами, может быть сформулирован так: сколько токов втекает в узел, столько же и вытекает. Это свидетельствует о непрерывности тока для электрической цепи. Поэтому существует ещё одна формула, выражающая первое правило Кирхгофа:

Здесь с одной стороны знака равенства рассматриваются токи, входящие в определённый узел, а с другой — выходящие.

При использовании первого закона Кирхгофа для цепи переменного тока применяются мгновенные значения напряжений, которые принято обозначать буквой İ. Расчеты в этом случае проводятся по уравнению, представленному в комплексной форме.

Второй закон Кирхгофа

Когда рассматривается электрическая цепь, подключённая к источнику тока, в каждой её точке имеется определённый потенциал. Разность между ними создаёт электрическое поле, которое вызывает перемещение зарядов.

Цепь представляет собой замкнутый контур, по которому движутся электроны. Электрическое поле выполняет определённую работу по их перемещению. Каждый заряд перемещается по цепи, а затем под действием ЭДС источника замыкает круг.

Второй закон Кирхгофа гласит, что работа по перемещению заряда вдоль любого контура электроцепи с возвратом в начальную точку равна нулю. В этой формулировке подразумевается любой замкнутый контур, причем как тот, который включает источник питания, так и о тот, где его нет.

Работа электрического поля при перемещении заряда в рассматриваемом случае представляет собой сумму падений напряжения для каждого из участков контура. Таким образом, второе правило или закон Кирхгофа гласит, что сумма напряжений всех ветвей в контуре равняется нулю. Это можно выразить в виде следующего уравнения:

Если напряжение и направление обхода контура совпадают, то U записывают со знаком плюс, в противном случае — со знаком минус. Направление обхода выбранного контура может быть определено произвольным образом. Второе правило Густава Кирхгофа его не регламентирует.

Если в контуре есть один или несколько источников питания, то формулу можно выразить следующим образом:

Здесь имеется p источников питания, q участков контура. Сумма всех ЭДС имеющихся источников питания равна сумме падений напряжения.

Значение правил Кирхгофа

Законы Кирхгофа выражают фундаментальные принципы физики. Их формулировки кажутся очень простыми и очевидными. Но на самом деле они представляют собой метод, позволяющий рассчитать электрические параметры сетей очень сложной конфигурации.

С помощью законов Кирхгофа можно составить систему независимых уравнений для расчета параметров электрической цепи. Важно, чтобы их количество было не меньше, чем число параметров, которые необходимо определить.

На приведённом рисунке представлена электроцепь, для которой будет проводиться расчёт. Используя первый закон или правило Кирхгофа, для узла A можно записать:

В этот узел входят два тока, а выходит один. Далее необходимо применить второе правило. Для этого можно выбрать внешний контур. Видно, что здесь имеется два источника тока и два резистора. Поэтому будут получены уравнения:

Здесь приведены 2 эквивалентные формулы. В левой части равенства учтены электродвижущие силы двух источников тока, в правой — падение напряжения на обоих резисторах с учётом направления токов. Ещё одно уравнение можно получить из 2 закона при обходе по правому внутреннему контуру:

В результате получена система, включающая в себя три уравнения с тремя неизвестными:

Используя конкретные данные, можно подставить в систему уравнений численные значения и найти, чему равна сила тока для каждой ветви, относящейся к узлу A. При расчётах важно понимать, что при достаточно сложной конфигурации электроцепи иногда бывает непросто определить направление силы тока для каждой ветви.

Первый и второй законы Густава Кирхгофа позволяют точно определить не только величину тока, но и его знак. Если в приведённом примере после вычисления искомых значений с помощью представленной системы уравнений окажется, что ток с индексом 2 принимает отрицательное значение, то это означает, что на самом деле он имеет направление, противоположное указанному на рисунке.

Законы для магнитного поля

Правила Кирхгофа нашли свое применение и при расчете магнитных цепей. Первый закон Кирхгофа для магнитной цепи выглядит так:

Проще говоря, сумма всех магнитных потоков, проходящих через узел, равняется нулю.

Второй закон в применении к магнитным полям звучит следующим образом: «Сумма магнитодвижущих сил в контуре равняется сумме магнитных напряжений». Формула выглядит так:

Кирхгофом выведены правила, имеющие абсолютный прикладной характер. С их помощью можно решать практические вопросы в электротехнике. Широкое применение этих правил объясняется простотой формулировки уравнений и возможностью их решения с применением стандартных способов линейной алгебры.