Что такое волна в физике

Как устроены волны

Волны — это самое распространённое явление. Физические колебания, звук, свет, радио и рентген, волны вероятности в квантовой механике, гравитационные волны в теории относительности — физика практически состоит из волн. Каждое явление можно изучать отдельно, но есть что-то общее в волнах, универсальное.

Чтобы ухватить это общее предлагаю разбираться в волнах последовательно.

Начнём с вопроса, на первый взгляд не связанного с темой, но ответ на который сразу много прояснит.

Рис. 1. «Две параллельные линии». Канва, браш. Рама.

Перед вами две параллельные линии, с ограниченной областью их просмотра, квадратным окном. Для различия они раскрашены. Вопрос простой: если красная линия это сдвинутая зелёная, то в какую сторону произошел сдвиг?

Варианты:

1. По диагонали вправо-вверх.
2. Вправо.
3. Вверх.
4. Могут быть все три предыдущих ответа.
5. Не только отдельно вверх или вправо, но и все промежуточные направления..
6. Другой ответ, так как некоторые возможности не указаны.

Основы

Представляю вашему вниманию: волна, в самом естественном виде.

Рис. 2. Волна в движении. (Здесь задумана анимация. Но вместо анимации пространственного среза — функция от пространства и времени)

Что изображено? Пространственный профиль.
Какая особенность? Он движется, и при этом не меняется.
В самом общем смысле волна это соединение пространства и времени через распределённое, но единое содержание.

Разумеется, волна — это больше, чем движение профиля, но для демонстрации этого нужны дополнительные пояснения.

В предваряющей статье о разборе круга рассказывалось о том, как понятие производной дополняет определение круга, это не просто постоянство суммы квадратов координат.

Статья получилась объёмной. Было интересно последовательно разобрать одну тему и посмотреть, что получится. Советую читать не торопясь, и только если интересно.

Как вам картина (Рис. 1)? Эти две линии напоминают два идущих друг за другом гребня волны. Но правильный ответ на вопрос о направлении сдвига, как ни странно, шестой — «И не только промежуточные». Потому что направление может быть любое, кроме направления вдоль самой линии. Если не допускать отрицательной величины сдвига, то можно, конечно, исключить направления, для которых нужно двигаться в обратную сторону. Но движение по таким направлениям, которые приближены к самой линии больше, чем направление вверх или вправо — тоже вариант.

Например, сдвиг, который складывается из двух шагов вверх и одного шага влево. Сумма коэффициентов при смешивании у шагов вправо и вверх единица, даже если один из коэффициентов отрицательный. Такое, допускающее внутренние варианты, равенство. А с применением комплексных чисел в сумме одно из слагаемых может быть отрицательным, даже если складываются квадраты.

Движение пространственного профиля во времени может быть представлено функцией от двух аргументов, от пространства и времени. Причём, у такой функции значения вдоль диагонали, совпадающей своим направлением с совмещением движения профиля в пространстве и времени, будет сохраняться. Производные такой функции вдоль координаты пространства и вдоль координаты времени будут по абсолютному значению равны, но противоположны по знаку.

Если бы профиль двигался в другом направлении, влево, то производная по пространству осталась бы той же, а производная по времени поменяла бы свой знак, и они стали бы равны.

По сравнению с предыдущим изображением здесь изменено направление

Вторые производные по пространству и по времени будут между собой совпадать. И для функции, сдвиг у которой происходит в противоположную сторону, вторая производная по времени со второй производной по пространству тоже совпадает. В качестве иллюстрации, можно показать, что участок с постоянным ускорением в пространстве выглядит как участок параболы, и если на графике компенсировать постоянную скорость, то относительно точки с этой скоростью график будет симметричен.

Когда говорится о равенстве вторых производных, речь о раздельных направлениях пространства и времени. Направления, совмещающие направления перемещения гребня в пространстве и времени — ведут к неизменности функции, а значит, и нулевым производным вдоль них. Зато, в других совмещениях направлений, в которых пространственное направление противоположно направлению распространения, множитель результата второй производной может доходить до двух.

Если мы возьмём функцию, вторая производная по пространству и вторая производная по времени у которой совпадает, то она позволит существовать не только профилю, движущемуся вправо, или профилю, движущемуся влево, но и функции, которая представляет собой сумму таких профилей. Это и есть дополнительная особенность волны: возможность прохождения через одну точку нескольких профилей в разных направлениях.

Формула волны это равенство второй производной по времени и второй производной по пространству.

Расширение на многомерное пространство выглядит так: для каждого пространственного направления, с различием противоположных направлений, задан свой отдельный профиль, включающий и данные для отрицательных отступов. Такие профили движутся во времени по своим направлениям с одинаковой скоростью.

Где — все пространственные координаты.
— направление в пространстве.
— величина проекции координат на выбранное направление.

Пространственная производная зависит от направления дифференцирования. Общая пространственная производная это вектор, проекция которого говорит о производной в заданном направлении. Вторая производная в прямом и обратном направлении совпадает, общая вторая производная по пространству это число.

Общая вторая производная по пространству это сумма вторых производных по отдельным координатам.

Если отношение значения функции и второй производной для всей области определения постоянно и отрицательно, то функция будет характеризоваться частотой. Коэффициент, отражающий отношение значения и второй производной, будет минус квадрат частоты.

У волн с определённой абсолютной величиной частоты может различаться как знак частоты, так и пространственное направление. В одномерном случае существует четыре вида функций, подходящих под это уравнение, с одним модулем частоты, но с различной зависимостью от времени и от пространства.

Каждый профиль может состоять из набора произвольных комплексных значений, но можно внести дополнительное ограничение. Чтобы профиль, сдвигающийся в положительную сторону, имел в составе только положительные частоты. То есть, сделать так, чтобы знак частоты у каждой составляющей одновременно указывал и сторону распространения, а волн, в которых пространственное направление распространения противоположное, а частота составляющих та же самая, не было.

Другими словами, исключить «сопряжённые волны». И тогда два профиля противоположного направления будут иметь раздельные частотные диапазоны и могут быть совмещены в один профиль, с общим преобразованием по времени.

Частота у частотных составляющих при указании смещения фазы при движении во времени ставится под модуль. Тогда с течением времени части функции, соответствующие положительным и отрицательным частотам, сдвигаются в пространстве в противоположных направлениях.

У движущихся навстречу профилей в одномерном пространстве можно отметить два эффекта:

1. Эффект отражения. Если встречные профили одинаковы вдоль своих собственных направлений, за исключением противоположного знака, то можно найти точку, в которой у профилей совпадают внутренние координаты, сумма в ней приводит к нулю. Эта точка будет приводить к зеркальному эффекту: профиль идущий на эту точку будет как бы отражаться и идти обратно, поменяв знак.
2. Эффект стоячих волн, когда встречные гармонические колебания одной частоты периодически, то гасят друг друга в ноль, то складываются в гребни и впадины, при этом образуя узлы постоянных нулевых значений и пучности колебаний двойной амплитуды, не сдвигаясь ни в одну из сторон. В пространственно-временном распределении это выглядит как сетка из линий нулевых значений вдоль пространства и времени, в квадратных ячейках которой присутствуют гребни, знак которых определяется в шахматном порядке.

Из-за введённого ограничения все пространственные частоты, и положительные и отрицательные, относительно времени становятся отрицательными, вращение в комплексной плоскости частотных составляющих при движении во времени выполняется в одну сторону.

Для положительных частот вращение во времени идёт в обратном направлении по отношению к вращению в пространстве. Пояснить это можно на примере болта. У болтов правосторонняя резьба, и чтобы закрутить, нужно крутить болт вправо, по часовой стрелке. Но при закручивании гребень волны приближается к шляпке болта, вместе с прикручиваемой деталью. Поэтому, для того чтобы гребень волны отдалялся, вращение нужно производить в противоположную сторону. Отрицательные частоты и в пространстве закручиваются против часовой, и во времени вращение идёт против часовой, это приводит к отрицательному направлению движения в пространстве.

Если мы видим отсутствие мнимой составляющей у среза функции на определенный момент, это значит, что мнимые составляющие противоположных частот погасили друг друга. В следующий промежуток времени один профиль разойдётся на два одинаковых, движущихся в противоположных направлениях, с появлением противоположных мнимых составляющих.

Добавление ограничения частот делает производную по времени характеристикой, включённой в пространственное распределение. Вместо содержания отдельно состояния и отдельно данных о его изменении, всё содержится в функции в пространственном распределении, в комплексных значениях. Ограничение возможных состояний приводит к более тесной взаимосвязи составляющих.

Потоки и их столкновение

Перемещение профилей можно воспринимать как поток, как размеренную передачу некоторого ресурса на расстояние. Величина потока больше связана с изменением значения функции, чем с самим значением, так как при постоянном значении можно сказать, что передачи не происходит.

Поток в виде постоянной передачи в случае одномерной функции с действительным значением выглядит как

Производная и по пространству и по времени с точностью до знака даёт величину . Но в таком случае значение функции с течением времени выходит за любые рамки.

Если для функции использовать комплексные значения, то постоянная скорость изменения может быть постоянной не сама по себе, а с учётом перпендикулярного движения в качестве изменения фазы, вращения. И тогда чистый поворот в комплексном пространстве будет одновременно и постоянным изменением и изменением ограниченным.

Для двумерного пространства постоянное рассеяние ресурса из точечного источника выражается в распределении величины значения и производной по времени обратно пропорционально расстоянию от источника.

Поток можно интегрировать по контуру вокруг источника с учётом локального направления: интегрировать производные отдельно по составляющей вдоль и отдельно по составляющей поперёк контура.

Интеграл по контуру с заданным расстоянием от источника приводит к постоянному значению функции, постоянному суммарному значению производной по времени и постоянному суммарному значению пространственной производной относительно контура, что значит, что поток при расхождении сохраняется.

Интересно, что не смотря на то, что распространение занимает время, при условном смещении общего уровня на такое распространение выглядит как мгновенное.

Если величина потока из источника будет зависеть от времени нелинейно, эффекта мгновенности не будет, но интегрально поток на постоянном расстоянии будет равен потоку источника в соответствующий момент.

При действительной функции несколько источников постоянного потока при таком интегрировании по любому контуру, включающему источники, дают сумму величин исходящих потоков.

Если заменить постоянно изменяющиеся действительные потоки на постоянно вращающиеся комплексные, то можно заметить, что при одном источнике для постоянного потока постоянной частоты интеграл по контуру постоянного радиуса даст одно и то же значение, с фазой, которая прямо соответствует фазе источника в момент испускания. То есть, интеграл совпадает с величиной испускания, также, как и в случае действительной функции.

Но если центр у контура интегрирования в виде окружности сместить, то у суммарного потока значение уменьшится, кроме векторного сложения значений произойдёт и гашение комплексной амплитуды, из-за размытия фазы.

Для нескольких разнесённых источников с колебаниями в одинаковой фазе потоки будут накладываться так, что интеграл и значений и производных по окружающему контуру всегда будет меньше, чем сумма потоков самих источников.

Конечно, интересный вопрос, куда исчезает поток, и не стоит ли компенсировать это через различие фаз, а то и изменение амплитуд? Нормировку какую-нибудь произвести… Но есть и более важный вопрос. А ничего, что представленное двумерное рассеяние уже не выполняет волновое уравнение?

Похоже, с двумерным распределением потока волн не так всё просто.

Если взять интеграл по окружающему контуру от производной вдоль радиуса, для функции, заданной как распределение волны одной частоты с рассеянием обратно пропорционально расстоянию, получим

При вычислении такой общей для одинакового отступа производной получено дополнительное слагаемое. А это значит, что для соблюдения волнового уравнения рассеяние должно его учитывать, и значит, отличаться от простой зависимости «обратно расстоянию».

Самые простые волны для рассмотрения это плоские. Плоская волна характеризуется тем, что колеблется в пространстве вдоль только одного направления, вдоль всех поперечных ему направлений она постоянна. Для изучения потоков можно разобрать, как накладывается две плоские волны одной частоты разных направлений.

Первая производная вдоль , вместе с самим значением, будет иметь коэффициент, меняющийся как удвоенный косинус вдоль .

Частота вдоль снижена до . Интеграл у такой производной вдоль будет колебаться около нуля. Похоже, даже частичная встречность потоков требует развития методов расчёта величины суммарного потока.

После расхождения потоки выглядят точно так же, как выглядели бы без наложения, какими сошлись, такими и разошлись. Так что, само распределение потоков при их наложении можно описать как сохранение суммарной величины потока, но с перераспределением отдельных частей вдоль поперечной координаты, в виде коэффициента, создающего области обнуления и области удвоения. При расхождении это перераспределение возвращает потокам поперечную составляющую.

Рассмотрим ситуацию с двумя точечными источниками волн. Здесь можно предположить, что накладываясь, волны не гасят, а плавно перераспределяют потоки друг друга, изменяют направление распространения, это как мягкая форма такого же перераспределения, которое было в примере с плоскими волнами. На поток будто наложен множитель, оставляющий неизменным суммарное значение по контуру, но производящий перераспределение. И волны в результате даже в некоторой степени концентрируются в общем направлении, подобно лучу лазера, который с расстоянием не рассеивается.

При таком перераспределении суммарная величина потоков должна сохраняться. Наложение колебаний увеличивает удельный поток в месте концентрации, поток переходит туда из мест взаимного гашения. И результат наложения с эффектом концентрации будет превышать результат расчётного наложение волн, рассеянных обратно расстоянию. Но разве амплитуда наложения двух волн может быть больше суммы амплитуд по отдельности? Если рассеяние правильное, то нет.

Правильное — это какое? Суммарно по контуру амплитуда может и не сохраняться.

Самое время разобраться, что именно сохраняется у волны при распространении.

Иллюстрация того, как волны одной частоты от двух источников влияют на максимальную высоту волны в других местах.

Разумеется, при распространении волн сохраняется энергия.

В примере с двумя плоскими волнами энергия двух потоков перераспределяется в энергию двух видов: кинетическую — которая при сложении потоков сложилась не как вектор, а как два числа, и потенциальную, которая в сложенном виде не проявлена, но при расхождении потоков возвращает вклад в поперечное направление.

В гребне волны энергия тоже двух видов: потенциальная, в виде возвышения гребня, и кинетическая, в виде скорости изменения. Скорость входит в энергию как квадрат величины, . У плоской гармонической волны поток энергии постоянный, поэтому там, где скорость нулевая, уже квадрат отклонения компенсирует недостающую часть энергии, но с коэффициентом, равным квадрату частоты.

Энергия это действительная величина, её можно считать отдельно для каждой комплексной составляющей, или можно сохранить фазу, не удваивая при возведении в квадрат и умножении.

Получается, для вывода распределения энергии можно либо возвести в квадрат гармоническую функцию, предварительно умножив на частоту, либо возвести в квадрат вторую производную гармонической функции, предварительно поделив на частоту, либо взять со знаком минус произведение функции и её второй производной, что подходит для любых функций.

Общая амплитуда входит в энергию как квадрат величины. Значит, при складывании одинаковых функций суммарная энергия возрастёт в четыре раза. При этом, совсем не пересекающиеся функции дают вклад в энергию линейно, энергией суммы будет сумма энергий. Это значит, что когда при совмещении двух функций требуется сложить энергию, принцип совмещения самих функций уже не является суммой. В таком совмещении для сохранения энергии требуется сбалансировать не только пару функций, а одновременно пару функций и пару их вторых производных. Или пару первых производных по времени, но в квадрате.

Производная по пространству это две составляющих вектора, каждая из которых комплексное число, а в целом это кватернион. А значит, на одну амплитуду приходится три раздельных фазы. Совмещать квадраты двух кватернионов в квадрат третьего меня жизнь не учила, но вполне можно обнаружить, что октонион, как показатель, что куда переходит, на одну амплитуду имеет семь фаз. Не самое удачное время вернуть сопряжённые волны, ведь тогда на горизонте будут седенионы, а там с делением составляющих на амплитуду и фазу уже не всё так просто.

Аппроксимация точечными источниками

Если точечные источники с одной фазой излучения выстроить в ряд, то из всех направлений будет выделяться одно. Для излучения сразу всем рядом в других направлениях нужно сдвигать фазу, в линейной зависимости от позиции в ряду, иначе для этих направлений одинаковая излучаемая фаза будет восприниматься вразнобой, и от этого суммарные волны уменьшат свою амплитуду.

Подсчитать как точечный источник излучает гармоническую волну можно двумя способами.

Сбор волны через сложение профилей для каждого направления полностью согласуется с уравнением волны. От точечного источника излучение волны идёт сразу во все стороны, во всех профилях точка даёт одинаковый вклад. Смещённые в пространстве и времени профили дают вклад обратно в функцию. Так как профиль влияет на соседние направления как проекция, то есть, с растяжением обратно степени сходства направлений – значит, с умножением аргумента гармонической составляющей на степень сонаправленности – то для получения результата суммирования профилей для выбранной частоты нужно проинтегрировать экспоненту с умножением мнимого аргумента на косинус интегрируемого угла.

Осталось избавиться от отрицательных частот, тогда появится ещё и мнимая составляющая.

Существует формула для вычисления этой функции без интеграла.

Второй способ.
Сначала нужно выяснить, как выглядит вторая производная по отдельной координате от произвольной функции радиуса.

Затем сложить вторые производные для обеих координат.

При выборе одной частоты будет верно, что

Но, так как выполняется симметрия масштаба, можно решить с единичной частотой, а затем функцию просто масштабировать.

Решая это дифференциальное уравнение Бесселя, получим функции, которые в реальной части совпадают с результатом первого способа. Если исключить из решения встречное направление потока, от двух констант останется одна

Полученная функция затухает пропорционально квадратному корню расстояния, но в точности с таким распределением не совпадает. Неравномерность отношения есть и в амплитуде и в фазе. В представленном виде общий сдвиг фазы , в нуле сдвиг увеличивается ещё на . Амплитуда отношения стремится к . В нормализованном для приближения к виде функция будет:

Если считать, что волны рассеваются обратно расстоянию, то волны, рассеивающиеся обратно корню от расстояния — на одинаковых расстояниях, начиная с определённого, имеют бо́льшие значения, и их превышающую часть можно считать переизлучением. Правда, тогда вблизи источника обнаруживается и область, где переизлучение отрицательное.

А сами функции Бесселя по модулю в области нуля даже ещё меньше такого рассеяния.

Фаза функции Бесселя

Нормализованная функция Бесселя с компенсацией рассеяния и сдвигом фазы. Видно падение амплитуды в районе нуля. Комплексные составляющие на отдалении больше 0.5 остаются сходны с косинусом и синусом.

Для отрицательных аргументов функции в мнимой составляющей можно задать удвоенное значение , чтобы в паре с ней в области отрицательного аргумента изменить знак у реальной части, чтобы волна на отрицательной стороне не была сопряжённой. При компенсации рассеяния функция Бесселя умножается на корень аргумента, для отрицательных значений это будет мнимое число, производящее сдвиг фазы на четверть оборота. Выбором знака корня можно выбрать положительную или отрицательную сторону сдвига.

Фаза функции Бесселя с компенсацией рассеяния и выбором такого знака у компенсирующего множителя, который выравнивает фазу.

Участок замкнутого контура можно представить состоящим из точечных источников, которые повторяют амплитуду и фазу каждой пришедшей на них гармонической волны от источников изнутри контура. Во внешнем пространстве это будет хорошим приближением волны, за исключением излучения краёв, которое проявляет себя вплоть до добавления оставшихся участков замкнутого контура. В случае замыкания контур сработает как зеркало внутрь, повторитель наружу. Распределение излучения точечных источников должно быть функциями Бесселя, тогда это будет точное представление принципа Гюйгенса.

Концентрические волны

По любой функции и её производной можно определять локальную частоту вдоль направления, имеющую для каждой точки своё отдельное значение.

Локальная частота может быть комплексной — при изменении амплитуды вдоль направления дифференцирования, в том числе при неравномерном изменении фазы.

Вторые производные можно представить через значение функции и локальную частоту

Дополнительная координата используется как проекция координаты , с условием, чтобы .

По этим равенствам видно, что должно быть комплексным. Значит, частота тоже комплексная.

Частотная характеристика энергии делится на две комплексные величины, у которых мнимые части в сумме дают ноль. Эти комплексные величины в роли производных отражаются в негармоническом изменении амплитуды и фазы вдоль перпендикуляра к округлому фронту.

Расхождение фаз у функции и у второй производной по отдельному направлению говорит о процессе концентрации или рассеивании потока вдоль этого направления. Общая вторая производная, суммарная по координатам, при этом может оставаться в той же фазе, что и значение, отличаясь только знаком.

Взаимосвязи

Выполнение волнового уравнения не подразумевает источников потока. Приходится делить одну функцию на две, в отдельном виде выполняющих уравнение везде, кроме областей перевода потока с одной на другую. Относительно источника это внутренний и внешний уровень.

На внутреннем уровне точечного источника волна также центрально-симметрична, только наоборот, концентрируется со всех сторон в одну точку. Можно подробно представить такую волну: так как суммарно энергия по одному значению радиуса постоянна, то постоянен по модулю и окружающий интеграл квадрата значения, умноженного на квадрат частоты, а значит, если локальная частота не меняется, то амплитуда меняется обратно корню от расстояния.

Общая ситуация при простом сложении двух функций это изменение энергии: возможно как дополнительное усиление в два раза, так и полное гашение. Так как при позитивном сложении энергия должна сохраняться, то при суммировании требуется использовать коэффициенты, причём, комплексные. Коэффициенты срабатывают так, что сколько суммарно энергии было в функциях, столько и осталось, но пропорция здесь — это уже отношение двух комплексных чисел, а значит, включает не только количественное отношение, но и степень расхождения фаз, дополнительную вариацию. При выбранной пропорции смешивания вариация разности фаз может отражаться на вариации усиления амплитуды. Можно отметить, что для отдельных двух плоских волн, если у них различаются направления или частоты, коэффициенты не нужны. Если и направление и частота совпали, коэффициенты зависят от различия фаз. Если у волн присутствуют и другие составляющие, то отдельный вклад плоских волн зависит от общих коэффициентов, они же общие.

Если рассмотреть по порядку: когда точечный источник выпускает концентрическую волну с обоими знаками одного абсолютного значения частоты, мнимые части гасятся, в результате распределение выглядит как затухающий синус с единицей в нуле. При компенсации рассеяния функция становится похожей на косинус, сдвинутый по аргументу на , и с провалом вокруг нуля. Эта компенсация иллюстративная, её можно в любой момент отменить. Возвращение мнимой части немного компенсирует провал, но волна в результате остаётся сдвинутой по фазе на четверть круга и с повышенной от добавочной компоненты энергией, поэтому применяется коэффициент выравнивания фазы , коэффициент выравнивания энергии и коэффициент компенсации различия итоговых амплитуд у пары совпадающих и пары встречных волн одинаковых энергий .

Волны обоих знаков частоты из центра во все стороны плоскости
Компенсация рассеяния, восстановление мнимой части (левая сторона — внутренняя часть источника)
Возвращение фазы
Величина относительного смещения амплитуды. Видно, что без иллюстративной компенсации рассеяния фаза при прохождении точки сдвигается на четверть круга.
Можно рассмотреть волну в контексте изменения размерности. В одномерном случае всё просто — если посреди пространства есть точка перехода, в ней переключаются уровни. На плоскости относительно такой точки надо рассматривать концентрические волны. Они, в дополнение к концентрическому рассеянию, обратному расстоянию, для сохранения баланса энергии усилены на корень от расстояния. Такое усиление ближе определённого расстояния срабатывает как ослабление. Но эффект от балансировки энергии на этом не заканчивается, это ослабление вблизи перехода усиливается дополнительно, при этом меняется не только амплитуда, но и сдвигается фаза.

При переходе через точку фаза проворачивается на четверть круга. А это значит, что если отследить моменты, когда встречные волны различаются на четверть круга, то получим следующее. Разница в четверть имеет направление — сдвинута прямая волна относительно обратной или наоборот. Противоположные варианты вдоль радиуса чередуются. Но при переходе через точку очерёдность переключается. Как будто добавилось пространство, причём, размер изменения пространства имеет обратную зависимость от частоты, прямую зависимость от длины волны. Для произвольных волн это выглядит как обмен мнимой и реальной составляющей, с изменением знака для одного из направлений обмена.

Совмещение противоположных частот требует перебалансировки энергии, значит в профильном представлении у встречных концентрических волн присутствуют общие компоненты. Вывод: ясно, что концентрические волны это не плоские, а плоские не концентрические, возможно, стоит поискать и другие типы волн, промежуточные к этим двум видам. «И не только промежуточные».

Огибающие

Получилось уравнение огибающей для волны с одной частотой.

У этого уравнения прослеживаются знакомые черты. Если обозначить , тогда можно переписать его так:

Что уже очень похоже на уравнение Шрёдингера:

Для совпадения нужно добавить

Для наглядности можно модифицировать волновое уравнение

Так что, волновое уравнение Шрёдингера — это уравнение огибающей для волны одной частоты, со слагаемым, говорящем о дополнительном измерении, колебания вдоль которого идут с частотой, квадрат которой зависит от разницы квадрата частоты колебания вдоль времени у самой функции и заранее заданной функции .

Координаты и — похоже, координаты для разделения внутренней и внешней энергии. Если задать , то координата перестанет влиять на волновое уравнение, пространство и время станут равноправны, за исключением присутствия модулируемой волны.

Только, при решении уравнения Шредингера — это исходная функция, а — результат решения. Обратная зависимость невозможна в рамках задачи.

Альтернативный вид уравнения Шрёдингера:

Если исключить встречные по времени волны, то производную второй степени по времени от можно свести к квадрату производной первой степени. Уравнение Шредингера оперирует функцией — огибающей к волне, а значит, индикатором степени перехода энергии в потенциальную.

Частотное пространство

Преобразование Фурье основано на том, что интеграл произведения двух гармонических функций не равен нулю только если их частоты в сумме дают ноль. Два аргумента в интеграле работают вместе, один внутри интеграла проходит пространство, а второй является внешним аргументом, срабатывает как детектор амплитуды для выбранной частоты.

Преобразование переводит функцию из пространственного представления в частотное. При втором применении может перевести обратно в пространственное, только частоты поменяют свой знак, функция развернётся по аргументу, и потребуется нормировочный коэффициент для каждого применения. Суммарной энергией для всей функции можно считать сумму раздельных по комплексным составляющим интегралов квадрата функции. Эта величина при преобразовании Фурье не меняется. Дополнительный общий коэффициент при преобразовании переходит в такой же коэффициент. Произведение двух функций переходит в их свёртку. Свертка переходит в произведение.

Гауссиана — особенная функция.

Особенность в том, что форма частотного распределения этой функции совпадает с формой пространственного распределения.

Каждая из частотных составляющих занимает всю область определения, но все вместе они складываются так, что в центре образуется одиночный всплеск, а чем дальше от центра, тем точнее все частоты компенсируют друг друга. У каждой частоты свой вклад в энергию, но как энергия распределяется в пространстве, определяется только общей, сложенной из всех частот в соответствии с их фазами, формой функции.

С гауссианой при преобразовании Фурье всё просто — когда функцию сужаешь, результат её преобразования расширяется, общая амплитуда, для сохранения энергии, уменьшается. Соответственно, при расширении функции результат преобразования, наоборот, сужается, и его общая амплитуда при этом растёт.

Если гауссиану сдвигаешь в пространстве — у её преобразования сдвигается фаза, пропорционально этому сдвигу в пространстве и пропорционально частоте. Если точно так же сдвинуть фазу у самой гауссианы, то она в частотном представлении тоже сдвинется, только в обратную сторону.

Если захочется одновременно сдвинуть и в пространственном и частотном диапазоне, то надо учесть, что в случае разного порядка выполнения этих сдвигов получатся разные результаты. Если хочется результата независимо от порядка сдвига, тогда надо сначала на половину сдвинуть в одном диапазоне, потом сдвинуть в другом диапазоне, затем завершить первый сдвиг — таким образом закручивание фазы будет в обоих диапазонах вокруг средней точки между пиком и нулём, и порядок будет не важен.

Степень закручивания фазы на пике будет половиной от произведения величин отдельных сдвигов, форма линии одной фазы в фазовом пространстве — гипербола. Преобразование Фурье от сдвинутой гауссианы можно представить плавным поворотом положения пика на четверть круга в фазовом пространстве, со сдвигом общей комплексной фазы, в соответствии пересекаемым при этом гиперболам.

Все функции, раскладываемые на гауссианы, можно подвергать плавному преобразованию Фурье. Для этого придётся различать фазу как множитель и фазу как проявление сдвигов гауссиан. Первая при повороте не меняется, а вторая, пропорционально произведению сдвигов, меняется на противоположную.

Если гауссиану умножать на экспоненту, то это будет эквивалентно её сдвигу и умножению на коэффициент. Если умножать на гармоническую функцию, это тоже будет эквивалентно сдвигу и умножению на коэффициент, который уже сам будет как гауссиана от частоты. Но тогда и сдвиг имеет мнимую компоненту.

Отсюда видно ещё и то, почему гауссиана при преобразовании Фурье переходит в себя: достаточно взять интеграл по в зависимости от .

Интеграл гауссианы при константном мнимом сдвиге аргумента не зависит от его величины, так же как при действительном сдвиге. Сдвиг аргумента в мнимую сторону увеличивает общую амплитуду функции обратно гауссиане от сдвига, но неравномерность фазы значения функции вдоль реальной части аргумента уменьшает интеграл обратно на ту же величину, и результат интеграла остаётся тем же самым.

Для того чтобы интеграл гауссианы привести к единице есть два способа: поменять общую амплитуду, поделив на , либо умножить аргумент на , что будет выглядеть как домножение квадрата аргумента на без деления на .

Разумеется, есть и промежуточные варианты, и не только промежуточные. Для при этом можно выбирать любое независимое от значение.

Преобразование Фурье от функции Бесселя имеет интересное аналитическое представление

Это деление на корень из разности единицы и квадрата величины напоминает о теории относительности. Мнимая часть в правой части равенства обрезается — в отличие от того, как мнимая часть аргумента в предыдущей формуле игнорируется.

В продолжение, мнимая часть решения уравнения Бесселя, функция Неймана, преобразуется в ту же функцию, с изменённым знаком под корнем.

Не сказать, что неожиданно. Но интересно, что за волны такие, распределение которых состоит только из функции . И что за волны были бы, если бы центральная точка была бы зеркалом, имеющим постоянное значение? А, ну да, если волны концентрические, то это — они и есть.

Преобразование Фурье функций и имеет такое же распределение, как они сами.

Тёмная сторона волны

Добавочная величина позволяет менять составные частоты, компенсируя все изменения, для сохранения общей локальной частоты. Квадрат величины в основном положительный, поэтому происходит гашение частот. Но может быть и комплексным, чтобы загасить и мнимую составляющую.

В характеристическом равенстве кинетическая энергия выглядит как разница коэффициентов, соответствующих общей и потенциальной энергии.

Чтобы явно задать пространственные составляющие этой величины можно пересечь по две плоских волны для каждого базисного направления, и она даже будет похожа на вектор. Но у вектора все проекции на любой базис согласованы, а здесь распределение по координатам может иметь отдельное значение для каждого направления. Так же как в профильном представлении волны в каждой точке для каждого направления даётся отдельное значение функции, так и здесь для каждого направления разделение величины на вдоль него и поперёк своё.

Впрочем, эта величина выражает прежде всего то, как задана потенциальная энергия, а поэтому представляет собой характеристику огибающей. Огибающая не такое простое понятие — как видно из разбора наложения плоских волн, она может даже менять частоту результата. Если разбирать детально, то нужно учесть, что у огибающей может быть и своя огибающая, значит, придётся разбирать, как несколько последовательных или равноправных огибающих выражаются в одном описании локальных изменений. Сложение двух функций тоже можно рассмотреть как операцию с огибающими.

Тёмная сторона волны представляется мне циклическим потоком внутри каждого отдельного места, энергия вложена, но на приём-передачу не идёт. Но зато она идёт на изменение формы огибающей, а это значит, что может являться вкладом, который забирает не тот, кто положил — а значит, всё равно, в каком-то смысле, передачей.

Третье измерение

При добавлении третьего измерения в профильном представлении в координате направления размерность станет на единицу больше.

Но изменится не только это. Для плоской волны фронт в пространстве уже действительно становится плоскостью, и на ней можно дополнительно выбрать направление колебания, появится поляризация. Это приводит к делению одной волны на две составляющие, по одной на каждое базисное направление, перпендикулярное к направлению распространения.

Причём, у каждой части не только своя амплитуда, но и фаза — парная волна может повторять в мнимой составляющей реальную, а в реальной мнимую, с изменением знака для одного из направлений. Для таких волн оценку энергии можно делать исходя только из реальных составляющих. Конечно, парная фаза может и просто совпадать с исходной. А может быть так, что в парной составляющей будет нулевая амплитуда, что делает добавление поляризации похожим на возвращение сопряжённых волн — те похожим образом гасят поперечные колебания в комплексном пространстве. Но деление на две составляющих даёт явное развитие по сравнению с волнами на плоскости.

Из-за такой поляризации значение у пространственного распределения волны становится вектором. Дать общее пространственное направление у вклада два профиля могут только если направления их распространения перпендикулярны этому общему направлению. Иначе вклад профиля вместе с отличием от перпендикуляра уменьшается, а вклад в другие направления, в степени сходства с общим перпендикуляром, увеличивается. Получается, чем более сходны направления у значения и распространения, тем меньше вклад.

Очень подозрительно, когда значение функции похоже на всё что угодно, только не на направление распространения.

Поделить волну на две части можно и по-другому.

Волновое уравнение — это равенство вторых производных по пространству и по времени, а в трёхмерном пространстве уже для первых производных по пространству и времени можно обозначить выражение равенства, но — только для разделённых между собой полей.

У таких полей для каждого их всех трёх базисных пространственных направлений задано своё значение. Производная по времени одного поля одной составляющей будет пространственной производной другого поля во втором направлении от составляющей третьего направления. А так как таких соответствий два, то одно значение делится «на двоих», пропорция подбирается на месте, и для одного из направлений изменён знак. От второго поля к первому такая же зависимость, только, тоже, изменён знак. Не сложно правильно расставить знаки, самосогласованных вариантов — как вариантов вращения, всего два.

Два поля остаются одной волной, их взаимное переизлучение — это условность в рамках последовательного восприятия времени. Обе части волны летят ровно так, как их выпустил источник — так же как волна в профильном представлении идёт по своему направлению, не меняясь, особенно когда нет препятствий.

Будем разбираться как связаны эти два представления. Сравним количество локальных характеристик. В профильном представлении итоговое пространственное значение это три числа, поляризация умножает на два, итого шесть. В полевом представлении по три действительных составляющих на два поля, итого составляющих тоже шесть. Совпадает, можно разбираться дальше.

Для этого надо разобраться в векторном произведении двух векторов. В нём нет ничего сложного, как и в произведении двух комплексных чисел, амплитуду можно подсчитать отдельно, фазу — или уже направление — отдельно. Амплитуда, разумеется, является произведением, только добавится множитель, равный косинусу отличия угла между векторами от прямого. А вот направление у результата имеет две особенности. Первая особенность — что результат перпендикулярен двум исходным направлениям. А вторая особенность — что, так как таких перпендикулярных направлений два, выбор зависит от последовательности аргументов умножения. У базисных векторов в пространстве есть порядок, один из двух вариантов, и векторное умножение можно считать операцией, сохраняющей этот порядок.

Произведение двух векторов можно представить определителем матрицы. Матрица — вектор, составляющие которого — тоже вектора, одинаковой размерности. Определитель матрицы — это величина объёма параллелепипеда, составленного из составляющих матрицу векторов. Но если из трёх трёхмерных векторов один вектор имеет в составе не величины, а три вектора от базиса, то определитель станет тоже вектором, это и будет векторное произведение. В такой математике, в которой самая сложная операция — вычисления объема параллелепипеда, нет ничего сложного. Но если первый аргумент умножения будет содержать вместо вектора оператор производной по базису, определитель матрицы превращается в ротор.

Если бы мы на плоскости вместо определения площади параллелограмма один из векторов превратили бы в производную: , то у нас получился бы индикатор степени вращения значения функции вдоль плоскости. Стало бы ясно, как вектор сдвигается вверх при смене координат вправо, и как вектор сдвигается влево при смене координат вверх, и, из-за линейности на малых расстояниях, в любых линейных комбинациях этих направлений тоже. Получилась одна скорость поворота на все направления смены координат.

В объёме всё точно так же, только результат не число, а вектор. Значит, ротор — это тоже индикатор вращения. Вот кто бы знал. Казалось бы, волны и вращение — какая может быть связь? Придётся разбираться и в этом.

Вращение

Рассмотрим поворот на плоскости. У плоских волн выполнить поворот просто — надо притормозить волну в прямом направлении, умножив на коэффициент и разогнать в перпендикулярном направлении, умножив на . Это перемещает вклад выделенной частоты профиля в профиль другого направления той же частоты, больше ничего.

Для концентрических волн поворот тоже возможен. Чтобы не нарушать концентрическую форму, его нужно выполнить в профильном представлении как добавление смещения у профиля, по направлению движения, с линейной зависимостью от направления. Если сдвиг фазы будет одиночно кратен обороту направления, тогда профили противоположных направлений будут сходиться в центре в противофазе, а это говорит о постоянном значении, и значит, зеркале в точке схода. Если там будет зеркало, возможности сконцентрировать весь фронт в одной точке и выкинуть на другой уровень уже не будет.

Определим значение профиля и проинтегрируем, чтобы получить значение функции вдоль одного направления.

Вот это да. Опять функция Бесселя. Теперь с индексом .

Уравнение Бесселя, три формулировки и решение:

График функции .
Распределение амплитуды.
Мнимая составляющая
Распределение является решением уравнения Бесселя, как соответствия общей второй производной, взятой как сумма вторых производных по радиальному и тангенсальному направлениям — при единичной частоте самому значению функции, взятому с минусом.

Во вторую производную по тангенсальному направлению входит проникновение первой производной по радиальному направлению и отражение энергии, ушедшей на закрученность.

Иллюстрация границы фаз. Распределение со временем вращается.

При разделении координат на радиус и направление

Сама функция будет равна:

Это выглядит как прохождение волны перпендикулярно радиусу, вдоль окружности. Циркуляция волны по кругу звучит странно, как может кружиться волна без источника?

При рассмотрении аналогии со сложением двух плоских волн можно сделать вывод: кручёная концентрическая волна в процессе пересчёта волны из до-потенциальной в после-потенциальную, с выделением огибающей, сталкивается сама с собой и идёт в новом направлении.

У закрученной концентрической волны, так же как было с обычной концентрической волной, можно восстановить мнимую составляющую, функцию , являющуюся линейно-независимым решением того же уравнения. Распределение на плоскости, с зависимостью фазы от направления, состоит из таких же колец, только сдвинутых вдоль радиуса. Результат соединения зависит от направления вращения и заданной фазы. Однообразно соединять можно двумя способами, в зависимости от знака мнимой части.

Амплитуда функции с однообразно восстановленной мнимой частью центрально-симметрична. Но отдельно реальная и мнимая составляющие выглядят как спираль. Если у поменять знак, направленность спирали изменится на противоположную. Направление вращения во времени сохранится.
Отдельно и не производят переброса энергии через центр, так как каждая является своим отражением в центре, вдоль радиуса имеет нули и является стоячей волной, кружащейся вокруг центра. Но при соединении вместе, с образованием спирали, нули пропадают, и в центре, так же как было при совмещении частей у не кручёной волны, будет переброс, с зависимостью направления переброса от знака мнимой части. Если, конечно, не считать, что кроме вращения ничего не происходит — а наблюдая за крутящейся спиралью можно подумать и так.

Интересно, как такое распределение, движение которого во времени выглядит как вращение результата в пространстве, выглядит в профильном представлении? Может быть, так же как у повёрнутой концентрической волны — со сдвигом, пропорциональным направлению — только, мнимая часть по каким-то причинам не гасится? Это говорит о том, что при учёте стоков и источников профильное представление будет расширено — например, разделением в пространстве областей для вкладов встречных профилей.

Производные

Для функции от нескольких координат производная это функция, которая показывает, как меняется исходная функция вдоль каждого из направлений этих координат. Получается, сколько координат, столько значений — то есть, это вектор. Чтобы получить эту векторную функцию, нужна функция от функции, то есть, оператор. Обозначается как , градиент. Вектора, чтобы отличать их от скаляров, будут обозначаться заглавными буквами.

Если мы на плоскости возьмём две функции — по одной на координату, то производная будет иметь четыре значения — с делением на два по тому, от какой функции берётся производная, и с делением на два, по какой координате. Среди этих значений — два значения будут взяты по своим координатам, а два значения по противоположным. Для векторных функций на плоскости можно выделить две производных, состоящих из сумм этих значений.

Функцию с комплексным аргументом и комплексным значением можно считать за две действительных функции на плоскости. Изменение комплексного аргумента для таких функций приводит к изменению комплексного значения — но относительно существующего значения функции любое изменение можно поделить на изменение амплитуды и изменение фазы. Этим величинам и соответствует дивергенция и ротор. Зная эти производные можно определить изменение комплексного значения по выбранному изменению комплексного аргумента.

Обе характеристики весьма информативны. Если бы векторная функция на плоскости обозначала направление движения, то ненулевой ротор говорил бы о тенденции ходить кругами. Ненулевая дивергенция говорила бы о том, что количество идущих не постоянно. Можно ясно представить, как элементы массы движутся, и движение спровоцировано двумя способами: либо в каком-то месте элементы добавляются и требуют распределения, вплоть до места, где их обратно забирают, либо происходит хождение кругами. Либо и то и другое вместе.

Ротор показывает степень изменения направления перемещения, и такой поворот это вовсе не следствие включённости элемента в поток распределения, это всегда противодействие такому потоку. А дивергенция показывает как распределён по пространству источник, из которого приходит то, что движется по векторному направлению значения функции.

У функции, полученной градиентом, движения элементов согласованы и нет тенденций кружить — ротор любого градиента будет нулевой. Ротор убирает все признаки источника, почему-то даже у результата, дивергенция от ротора ноль. Ротор для пространства удобней обозначать , а дивергенцию . Можно подсчитать ротор ротора — степень эффекта, когда сама тенденция кружить имеет тенденцию кружить на другом уровне.

— Лапласиан, показывает степень пространственной изогнутости, в виде суммы вторых производных по базисным координатам. Другими словами, общая вторая производная. Если лапласиан равен градиенту дивергенции, то ротор ротора нулевой. Так же как на плоскости: если умноженная на значение функции сумма вторых производных равна сумме квадратов первых производных, то «тёмной» части в волне нет.

— расчёт источника векторного произведения приводит к разнице двух скалярных произведений вектора и ротора другого вектора в различном порядке.

В пространстве для волны, представленной функциями и выполняется

Брать производную по времени и вычислять ротор для векторной функции можно в любом порядке, результат будет одинаковый. Поэтому можно определить функцию , такую, что будет выполняться соотношение

Дальше можно поделить функции и каждую на две части.

От отделится градиент одного скалярного поля, а в отделится градиент другого скалярного поля, связаны через производную по времени. Так как ротор градиента это ноль, на это не окажет влияния. Но скалярное поле в отделяется так, что будет выполнять условие, что его производная по времени равна дивергенции оставшегося .

И тогда будет выполняться второе соотношение

Где — функция для учёта источника волны, степень отклонения от волнового уравнения.

Если проследить за тем, что соответствует источнику поля, которое является векторным произведением полей

То получим уравнение сохранения энергии, которое говорит, что отдельные плоские волны идут в направлении, перпендикулярном к обоим полям и амплитуды полей при этом одинаковые.

Сама функция это волновое излучение, источник которого распределён в виде :

В итоге вся схема выглядит так:

Между и есть связь, которая имеет простое представление:

И они согласованы между собой. Но то, что связь между и не прямая можно показать и более наглядно. Опосредованность заключается в возможности существования промежуточного поля , которое добавляет вклад в изменения со временем , через вихревую форму распределения в пространстве.

Опосредованных связей во всей системе уравнений несколько, их можно продемонстрировать так: то, что находится в квадратных скобках не влияет на равенство.

Опосредованную связь можно показать на примере первого же уравнения всей системы, , в нём распределением по всему пространству мгновенно задаётся величина заряда. Но можно заметить, что связь является опосредованной через дивергенцию. Обратная связь позволяет такое распределение поля, в котором конкретные значения смещены, а величина смещения распределена так, что не даёт вклада при вычислении дивергенции. А значит, обратное влияние заряда на поле не обязательно мгновенное.

Изменение распределения заряда может мгновенно изменять одну часть распределения, но при этом будет менять и другую часть, которая полностью отменяет влияние до тех пор, пока до тех мест не дойдёт сигнал об изменениях, а когда это будет — совсем другое вопрос. Может вообще не дойти, если отменят. То есть, даже просто поле из-за опосредованной связи с зарядом можно разделить на безвихревое поле мгновенного распространения и компенсирующее всю мгновенность вихревое поле.

Поляризация

Чтобы выяснить, как связаны три различных представления волны, нужно рассмотреть связи их компонентов. Профильное представление содержит комплексные числа, количество которых для отражения поляризации расширено до двух. Представление через поля имеет по два поля, по три действительных компоненты для каждой пространственной точки. Для промежуточного представления, в котором так же как у профильного для выделенного направления и сдвига задаётся значение, которое представлено векторным произведением полей, состав может быть дополнен характеристиками, дающими возможность их восстановления. В рамках плоскости, перпендикулярной к произведению, в качестве поляризации даётся направление , без указания модуля. И дополнительно — скалярные характеристики и .

Количество компонент: полевое представление: , промежуточное представление: , волновое представление: . Количество компонент промежуточного представления легко довести до шести, включив все дополнительные характеристики. Для того, чтобы в профильном представлении компонент стало шесть, поляризацию нужно расширить, допустить третье измерение — поляризацию вдоль распространения.

Здесь и заключается тонкая грань между представлениями. В профильном представлении третье направление поляризации считается характеристикой источника, а не поля. Если в поле сохраняется поляризация вдоль направления распространения, это значит, что действие источника ещё не прекратилось, профили не разошлись. А с другой стороны, что, жалко что ли добавить третью компоненту? Да не жалко. Пусть летит волна, одна из компонент которой вдоль направления движения — значит, в каком то смысле, вдоль времени.

В целом, получилось интересное поле — характеризующееся шестикомпонентным числом, совмещающим три комплексных числа, или два вектора — способов разделения на компоненты несколько. Но в промежуточном представлении вектор совпадает с направлением движения, а значит, количество скалярных компонент не три, а одна. Похоже, для чистых волн без связи с источником, их действительно только четыре. Так что, вопрос количества компонент поляризации — это вопрос сохранения связи волны и её источника. На связь уходит как минимум две компоненты из шести.

Источники и стоки

Рассматривая сток/источник посреди спирали можно сделать вывод, что источники могут быть разные: один вид испускает во все стороны волны, соответствующие значению в центре, другой вид имеет нулевое значение в центре, а волны противоположных направлений имеют противоположные фазы. Да ещё и вращаться можно. Если говорить о соответствующем стоке, он тоже выполняет свою функцию: перевод энергии на другой уровень точно так же не даёт волнам встречных профилей зайти на общее пространство.

Два источника, отправляющие волны на встречу друг другу, могут рассчитывать на два варианта событий: на пространственное наложение встречных волн, с компенсацией потока энергии, или на нахождение между ними стока, который проведёт волне смену пространства, забрав энергию.

Волны задаются распределением источников, а сами источники имеют правила распределения, включая правила движения и реакции на приходящие волны. В целом, статья про волны закончена, осталось небольшое исследование возможных распределений источников и совмещения волн и источников вместе.

Распределение заряда и распространение волны может представлено в различных пространствах, для соотнесения пересчитываемых между собой через свёртку. При размытии функции результат получается свёрткой с профилем размытия. Преобразование Фурье заменяет свертку двух функций на произведение значений для одинаковых частот. Но у размытия есть и обратная операция: наведение чёткости — свёртка с обратным для исходного профилем. Обращение профиля достаточно простое действие, если нет частот с нулевой амплитудой. Когда есть два пространственных распределения: заряда и волны, и одно из них размыто, то можно произвести наведение чёткости. То что было размытым — станет чётким, а вот тому, что было обычным, придётся стать сверх-чётким. Что, вполне ожидаемо, позволяет появиться повсеместному ненулевому заполнению, исчезающему при размытии.

Преобразование Фурье от гауссианы

даёт интересные следствия. Одно в том, что если обратить знак у , знак у обоих функций может остаться одинаковым. А второе, что при можно подобрать такой общий коэффициент для обоих сторон, при котором преобразование Фурье от действительной функции даст функцию с исключительно мнимыми значениями. Здесь нужно обратить внимание, что при прохождении через ноль функция как бы выворачивается наизнанку. А у гауссианы, у которой в абсолютная величина мнимой части больше абсолютной величины реальной — тоже происходит выворачивание, по уровню, и энергия для такой функции при интегрировании перестаёт сходится.

График функции , это гауссиана при

И её преобразование Фурье, . Отличатся знаком мнимой части.

При противоположных значениях правила соответствия знака противоположны, и если абсолютное значение мнимой части больше абсолютного значения реальной, то для положительной величины мнимой части и для отрицательной правила тоже будут противоположны. Значит, есть четыре правила, при прохождении по кругу они последовательно меняются. Без меняющихся правил схема знаков будет выглядеть как край ленты Мёбиуса: при переключении на противоположную сторону — два равнозначных варианта.

Здесь — символ неопределённости знака, участвующий как множитель с зависимостью от . В самом простом виде он повторяет минус, если отрицательное число.

График функции , это гауссиана по второй формуле при том же

И её преобразования Фурье, .
Распределение источника может быть точечным, может быть гауссианой, а может быть расширенной гауссианой, с единичной амплитудой по всему простраству, из-за распределения фазы дающее единичный интеграл.

Реальная часть интеграла от расширенной гауссианы. Похожа на ступеньку, соответствующую точечному источнику.
Диаграмма интеграла расширенной гауссианы в комплексной плоскости. Пример перемещения из одного пункта в другой при постоянной скорости, без резких изменений направления и без ограничений по времени.
Квадрат коэффициента можно представить в виде суммы реальной и мнимой составляющей.

Теперь видно, чему знаковый множитель пытается соответствовать. Соответствие преодолевает даже то, что корень для комплексных чисел не разделяет варианты значений на положительные и отрицательные.

Что у коэффициента больше по абсолютному значению, мнимая часть или реальная, определяется только знаком величины .

Изменением одного только не получится перейти через границу по энергии, изменение пойдёт по гиперболе, не пересекающей диагональ.

Преобразование Фурье сохраняет энергию функции — каждая разделённая по области аргумента часть функции содержит одинаковую энергию до и после преобразования. При суммировании частей функции энергия зависит от их пересечения. В исходной функции части поделены по аргументу. Результат преобразования из-за различия частот также не содержит влияния частей на энергию других. Но и при плавном преобразовании Фурье каждая часть перераспределяется так, что вместе с преобразованием других частей наложение происходит без изменения энергии функции.

Рассмотрим, какое влияние на энергию оказывает изменение коэффициента .

Норма интеграла позволит выводить энергию без отношения к расходящемуся интегралу как к исключительному случаю.

Развернём коэффициент, вынесем неопределённость знака в знаковый множитель

Различие между квадратом функции и покомпонентным квадратом проявляется в различных результатах:

Косинус в квадрате и синус в квадрате выразить через экспоненты просто:

Части внутри скобок можно каждую отдельно скомпоновать с экспонентой, стоящей перед скобкой под интегралом. А вот то, что для каждой из трёх частей знак интеграла будет своим, надо учитывать. И хотя при положительном они будут одинаковы, в других случаях у них может быть четыре комбинации. Это два в степени количества бинарных характеристик, но с учётом, что общий знак влияет на линейность.

Теперь надо вывести выражение для энергии заданной гауссианы.

Рассмотрим эту сумму по частям, первое и второе слагаемое отдельно.

Эта функция по горизонтали не симметрична. Она распределена в виде кардиоиды.

Фигура кардиоиды — это проявление механизма, когда один единичный круг вращается вокруг второго единичного круга, зацепившись как шестерёнка. Видимо, это ещё и волновой механизм. Для построения кардиоиды нужно сложить два единичных вектора, только один из них нужно поделить пополам: одна половина будет постоянного направления, а угол направления другой будет удвоенный относительно угла второго вектора.

Несколько уравнений, задающих кардиоиду выбранного размера:

Размер можно наоборот, определить по координатам

По размеру можно определить значение функции

Как видно, не только произведение , но и сумма корней имеет короткое обозначение.

Всё это может казаться сложным, но если принять , , то при построении графика в зависимости от из кардиоиды функция превращается в две окружности:

Знак функции при отрицательной реальной части определяется тем, учитывали ли мы дополнительную бинарную координату — знак величины — при задании изначальной функции, или задали функцию только для одного её значения, а для другого знак можно обратить.

Если знаки у правой и левой части первого слагаемого не совпадают, то направление кардиоиды вдоль горизонтали меняется, значение функции становится мнимым, и кроме того, при переходе через будет меняться знак. График по координатам будет двумя окружностями, расположенных в вертикальном порядке, и у них будет смена знака по вертикали. Смена знака по горизонтали тоже будет, но её можно убрать так же, как можно было добавить в предыдущем случае.

Если вдруг перестанут быть бинарными значениями, и станет верным , тогда и реальная и мнимая часть будут иметь одинаковое распределение — круги, повёрнутые на восьмую часть оборота. То есть, фазовое вращение распределяется на пространственное и фазовое вращение результата, каждое с половинной скоростью. Пространственное вращение — так ещё и в обратном направлении, в отличие от .

Второе слагаемое энергии зависит от одного действительного числа и график в координатах представляет собой гиперболу с мнимым значением для положительного аргумента, реальным для отрицательного, и зависимостью знака результата от .

Деление на превращает сумму исходных составляющих в реальную составляющую, а разницу в мнимую. При таких поворотах сумма обеих составляющих результата соответствует мнимой части исходного числа.

Энергию можно расписать немного шире.

И тогда при использовании обращённых координат

Дроби будут оставаться на своих местах:

Кроме упрощённой замены переменных и добавления множителя , знаковые множители и как будто поменялись местами. Пока они одинаковые это ничего не значит.

Преобразование Фурье гауссианы в аспекте преобразования энергии можно записать как

Если к функции добавляется множитель, то модуль энергии меняется соразмерно квадрату модуля этого множителя. По приведённому выражению для энергии видно, что при единичных гамма-коэффициентах модуль комплексной энергии сохраняется. Так как энергия функции это сумма раздельных по комплексным составляющим интегралов квадрата функции, то важен не модуль результата, а сумма составляющих. Множитель, меняющий фазу исходной функции, изменяет только разницу составляющих результата, и не влияет на конечное число.

Преобразование Фурье служит методом пересчёта движущегося профиля в статичные колебания, образующих движение только совместным действием. Одно такое колебание выделенной частоты не различается в пространстве по амплитуде и не различается по пространству и по времени иначе, чем по стабильно меняющейся фазе. С одной стороны, энергия должна сохраняться, так как это свойство смены представления одного и того же процесса. Можно даже попробовать источники, со всем их процессом изменений включить в систему рассмотрения с другого ракурса. Но с другой стороны, дополнительные преобразования проявляются внутри преобразования Фурье как дополнительные характеристики, и здесь кое что не ясно — они задают сохранение энергии, или подчиняются ему?

Можно запутаться, но я, вспомнив принцип болтика, понял: к чему прицепился — то и не двигается. То есть, вопрос взаимосвязи функции и энергии зависит от того, кто спрашивает: физик или математик. И физик, который исходит из того, что энергия сохраняется, бывает не прав — так как этим отсекает передачу её в ещё неизвестных направлениях. Не смотря на то, что действительно, что сохраняется — то и энергия. Математик может разобраться, каковы условия сохранения энергии. Но и в математике есть принципиальные недостатки: можно незаметно для себя всё слишком упростить. Это видно на примере задачки про линии. Только физика может напомнить, что практика важнее математики. Физика открыта новому, поэтому часто движет математику. Математика же принципиально не может разделить автоматическое упрощение и непрактичность.

Энергия

Отличие энергии, использованной для определения энергии волны, от энергии, полученной через покомпонентное интегрирование квадратов функции в том, что для волны результат составляет энергию не самой функции, а её производной. Она могла быть определена через произведение значения функции и второй производной именно потому, что в этом случае множитель локальной частоты распределяется, и остаётся только один раз на функцию. Он отражает относительную скорость изменения, вместе со значением функции становится просто скоростью, и общее значение возводится в квадрат. При вычислении энергии через интегрирование квадрата функции постоянная составляющая даёт весомый вклад в энергию. Но если энергию брать от производной, то перед возведением в квадрат этот вклад умножается на частоту — и у нулевой частоты вклада не будет.

У нас есть пара типов энергии. Уже вполне ясно что с этим можно сделать, искать другие.

Значение функции и энергию с остатком фазы в заданной точке можно представить как

Выражение для соответствующей энергии можно немного развернуть, чтобы реальная часть отражала сумму составляющих.

Предоставленное для вычисления энергии одиночное значение можно распределить в интегрируемую функцию от дополнительных аргументов — на величины, квадраты которых могут давать в реальной части отрицательные числа, но при этом общая сумма сориентированных квадратов своей реальной частью будет сходится к фиксированному числу.

Зададим функцию, вклад в различие составляющих энергии у которой будет зависеть от аргумента. Два варианта поворота.

Для этих выражений можно по тем же принципам рассчитать энергию.
Получится два интеграла

Реальная часть сохранилась. Мнимая часть зависит от поворота исходного интеграла.

Просчитаем вид интеграла в общем виде для всех направлений

Обобщим на комплексную функцию

Этот интеграл не зависит от поворота. Можно даже скорректировать значение функции, умножив на расстояние до точки, , и тогда та же энергия будет просто суммой покомпонентных интегралов квадратов функции.

Мнимая часть зависит от удвоенного угла.

Интеграл синуса поворота симметричен, по всему диапазону сходится к нулю.

Но этот результат соответствует только константной функции. Как влияет он на произвольную функцию можно рассмотреть через его преобразование Фурье.

Для положительных частот множитель уменьшает амплитуду частотных составляющих пропорционально экспоненте от минус частоты. Интеграл по всему диапазону возвращает значение для нулевой частоты. Но так как умножение функций под интегралом в частотном диапазоне это свёртка, то влияние коэффициента под интегралом это влияние всех частот на нулевую частоту, которое пропорционально экспоненте от модуля частоты.

Итог интересный: для функции с учётом рассеяния, для нормировки на одинаковое количество «мнимой энергии» амплитуды должны быть дополнительно усилены в экспоненциальной зависимости от частоты. Какую роль это будет играть в ситуации, когда и сами будут комплексными, или распределёнными функциями?

Энергия без сдвига фазы рассчитывается так:

Как устроены волны? Как и всё — непреодолимо загадочно. Но из них, как и из всего, можно сделать зеркало. Чтобы разгадать главную загадку. А зачем ещё они нужны?

Сегодня международный день полёта человека в космос, и день космонавтики.
Шестьдесят лет назад человек вышел в космос! Поздравляю вас с этим праздником.

Волна

‎Волна́ — изменение состояния среды (возмущение), распространяющееся в этой среде и переносящее с собой энергию. Другими словами: «…волнами или волной называют изменяющееся со временем пространственное чередование максимумов и минимумов любой физической величины, например, плотности вещества, напряжённости электрического поля, температуры. [1] , [2]

Более правильное определение: Волна — это явление распространения в пространстве с течением времени возмущения физической величины.

Независимо от природы волны перенос энергии осуществляется без переноса вещества; последнее может возникнуть лишь как побочный эффект. Перенос энергии — принципиальное отличие волн от объёме газа возникла звуковая волна, то это не значит, что в этом объёме появились какие-то новые физические объекты. Звук — это лишь название для особого скоординированного типа движения тех же самых молекул. То есть большинство волн — это колебания некоторой среды. Вне этой среды волны данного типа не существуют (например, звук в вакууме).

Имеются, однако, волны, которые являются не « электромагнитные волны в современной физике — это не колебание некоторой среды (называвшейся в XIX веке эфиром), а самостоятельное, самоподдерживающееся поле, способное распространяться в вакууме. Аналогично обстоит дело и с волнами вероятности материальных частиц.

Содержание

Характеристики волны [ ]

Временна́я и пространственная периодичности [ ]

Временная и пространственная периодичности взаимосвязаны, что отражено в f = c λ <\displaystyle f=<\frac <\lambda >>\,>

Где: c — скорость распространения волны в данной среде.

Строго говоря, это равенство справедливо только для гармоничных волн.

Интенсивность волны [ ]

Классификации волн [ ]

Имеется множество классификаций волн, различающиеся по своей физической природе, по конкретному механизму распространения, по среде распространения и т.п.

Волны можно классифицировать:

, которые являются волнениями, которые образуются посредством воды; ( инфракрасные лучи, видимый свет, ультрафиолетовые лучи, рентгены, и гамма-лучи, которые составляют электромагнитную радиацию), которые могут перемещаться без среды, в вакууме со скоростью света, равной 299 792 458 м\с в вакууме; — механическая волна, которая образуется в газах, жидкости, в средах с твердыми частицами и плазме;
• землетрясениях, из которых есть три типа, названные S, Гравитационная волна — гравитационное излучение, излучение гравитационных волн, или волн тяготения, неравномерно движущимися массами (телами). [3] Или гравитационная волна — возмущение скоростью света.
• интерфейсе между сопряжениями двух элементов (СМИ) (например, атмосфера и океан), которые могут быть восстановлены силами Coriolis ;
• Волны в плазме .

По отношению к направлению колебаний частиц среды, в которой распространяется волна, выделяют:

• продольные волны (волны сжатия, P-волны) — волна распространяется параллельно колебаниям частиц среды (звук);
• поперечные волны (волны сдвига, S-волны) — частицы среды колеблются перпендикулярно направлению распространения волны (электромагнитные волны, волны на поверхностях разделения сред);
• волны смешанного типа.

По виду фронта волны (поверхности равных фаз):

• плоская волна — плоскости фаз перпендикулярны направлению распространения волны;
• сферическая волна — поверхностью фаз является сфера;
• цилиндрическая волна — поверхность фаз напоминает

Рис.1.
A = в глубоководном месте;
B = в мелкой воде; Краткое движение поверхностной частицы становится более плоским с уменьшающейся глубиной.
1 = Прогрессия волны;
2 = Гребень;
*3 = Корыто.

На Рис.1 показаны периодические волны, которые характеризуются гребнями (максимумы) и впадинами (минимумами), и могут обычно категоризироваться как или продольные или поперечные.

• Поперечные волны — волны с напрвлением колебаний, перпендикулярным к вектору распространения волны; примером служат волны в области электромагнитных волн. *Продольные волны — те, крторые имеют колебания, параллельные вектору распространения волны; например, большинство звуковых волн.

Когда объект подпрыгивает на ряби в водоёме, то вектор движения точек волны происходит по орбитальной траектории. Появляющаяся рябь — не простые поперечные синусоидальные волны.

Все волны имеют общее поведение со множеством стандартных ситуаций.

По демонстрируемым волнами физическим проявлениям их можно разделить на:

Волны могут генерироваться различными способами.

• Генерация локализованным источником колебаний (излучателем, антенной).
• Спонтанная генерация волн в объёме при возникновении волны на воде при достаточно большой скорости звуковые волны.

Общие свойства волн [ ]

Распространение в однородных средах [ ]

При распространении волн изменения их скорости в пространстве и времени зависят от свойств анизотропности среды, сквозь которую проходят волны.

Чаще волны в некоторой среде затухают, что связано с монохроматические волны встречаются очень редко. Поэтому наряду с скорость «центра тяжести» волнового пакета.

Групповая и фазовая скорости совпадают только для линейных волн. Для нелинейных волн групповая скорость может быть как больше, так и меньше фазовой скорости. Однако когда речь идёт о скоростях, близких к скорости света, проявляется заведомое неравноправие между групповой и фазовой скоростями. Фазовая скорость не является ни скоростью движения материального объекта, ни скоростью передачи данных, поэтому она может превышать скорость света, не приводя при этом ни к каким нарушениям теории относительности. Групповая же скорость характеризует скорость движения сгустка энергии, переносимой волновым пакетом, и потому не должна превышать скорость света. Однако при распространении волны в метастабильной среде удаётся в определённых случаях добиться групповой скорости, превышающей скорость света.

Поскольку волна переносит энергию и импульс, то её можно использовать для передачи информации. При этом возникает вопрос о максимально возможной скорости передачи информации с помощью волн данного типа (чаще всего речь идёт об электромагнитных волнах). При этом скорость передачи информации никогда не может превышать скорости света, что было подтверждено экспериментально даже для волн, в которых групповая скорость превышает скорость света.

Пространственные размеры волны [ ]

Когда говорят о пространственном размере волны, то имеют в виду размер той области пространства, где амплитуду колебания нельзя считать (в рамках рассматриваемой задачи) пренебрежимо малой. Большинство волн могут, теоретически, обладать сколь угодно большим размером, как в направлении движения, так и поперёк него. В реальности же все волны обладают конечными размерами. Продольный размер волны, как правило, определяется длительностью процесса излучения волны. Поперечный же размер определяется рядом параметров: размером излучателя, характером распространения волны (например, плоская, сферически расходящаяся волна и т. д.).

Некоторые виды волн, в частности, Поляризация волн [ ]

Если в поперечной волне нарушается симметрия распределения возмущений (например, напряжённость электрического и магнитного полей в электромагнитных волнах) относительно направления её распространения, то мы имеем дело с поляризованной волной. В продольной волне поляризация возникнуть не может, т. к. распространение возмущения всегда совпадает с направлением распространения волны.

Подробней на эту тему см. статью «Поляризация волн».

Взаимодействие с телами и границами раздела сред [ ]

Если на пути волны встречается какой-либо дефект среды, тело или граница раздела двух сред, то это приводит к искажению нормального распространения волны. В результате этого часто наблюдаются следующие явления:

Излучения с разной длиной волны, но одинаковые по физической природе, могут взаимодействовать друг с другом, интерферировать. При этом могут возникнуть следующие частные эффекты:

• эффект Доплера — изменение длины и амплитуды волн при движении приёмника или источника излучения.

Конечный результат проявления от встречи волн зависит от их свойств: физической природы, когерентности, поляризации и т. д.

Виды волн [ ]

Классифицированные волны можно в основном представить как:

• Синусоидалные волны;
• Смодулированные волны;
• Постоянные волны;
• Вибрирующие волны;
• Гармонические волны.

Математические описания волн [ ]

Математическое описание волн основывается на представлении о них, как о пространственно распространяющихся колебаниях, и в общем виде записывается:

\mathbf =\mathbf \left(\mathbf ,t\right)>

Более определённый вид уравнения зависит от типа волны.

Синусоидалные волны [ ]

Схема графика синусоидальной‎ волны

Математически, самая основная волна — волна синуса (или гармоническая волна или синусоида), с амплитудой u описанный уравнением:

u ( x , t ) = A cos ⁡ ( k x − ω t + ϕ ) ,

• A — полуамплитуда волны, половина амплитуды: пика-к-пику, часто называемой просто амплитуда или максимальное расстояние от самого высокого пункта волнения в среде (гребень) к пункту равновесия в течение одного цикла волны. На иллюстрации направо, это — максимальное вертикальное расстояние между основанием и волной;
• x — абсцисса (вектор распространения волны),
• t — координата времени,
• k — пространственная частота,
• ω — временная частота,
• φ — погашение фазы.

Единицы полуамплитуды зависят от типа волны — волн, выраженных через амплитуду как расстояние, например в метрах, от звуковых волн, выраженных через давление и электромагнитных волн, выраженных через амплитуду электрической области (вт/метр).

• λ — длина волны — расстояние между двумя последовательными гребнями (или впалдинами), измеряется в метрах.
• k — пространственная частота волны в радианах аналогиччно при подсчёте из расстояния единицы длины в метрах, может быть связана с длиной волны отношением:

Волны синуса соответствуют простому гармоническому движению.

Период T — время для одного полного цикла колебания волны. Частота f (также часто обозначаемый как ν ) — число периодов в единицу времени (в секунду) и измерена в герц. Они связаны:

Вообще, частота и период волны — аналоги. Угловая частота ω представляет частоту в радианах в секунду. Это связано с частотой:

ω = 2 π f = 2 π T . <\displaystyle \omega =2\pi f=<\frac <2\pi >>.\,>

Различные местные длины волны на основании гребня-к-гребню в океанской волне, приближающейся к берегу. [4]

Длина волны может быть полезным понятием, даже если волна не является периодической. Например, в океанской волне, приближающейся к берегу, показанному на фигуре, поступающая волна взаимодействует с переменной местной длиной волны, которая зависит частично от глубины морского дна по сравнению с высотой волны. Анализ волны может быть основанным на сравнении местной длины волны с местной водной глубиной. [5]

Хотя произвольные формы волны образуются неизменно без потерь в линейных инвариантных во времени системах, без присутствия дисперсии. Волна [6] , [7] . Функция синуса является периодической, таким образом волна синуса или синусоида имеют длину волны в месте и периоде одновременно. [8] , [9] Синусоида и расстояния определяются навсегда, тогда как в физических ситуациях мы обычно имеем дело с волнами, которые существуют для ограниченного диапазона в месте и в промежутке времени.

Уравнение волны [ ]

Уравнение волны — частичное отличительное уравнение, которое описывает развитие волны в течение долгого времени в среде, где волна формируется на той же самой скорости, независимой от длины волны и независимый от амплитуды. [10] Общие решения основаны на принципе [11]

В частности рассмотрим уравнение волны в одном измерении, например, в применении к множеству волн. Предположим, что одномерная волна движется по оси X со скоростью v и амплитудой u (которая, вообще, зависит и от x и от t), уравнение волны:

u ( x , t ) = F ( x − v t ) + G ( x + v t ) .

Скорость v зависит от среды, через которую перемещается волна.

Общее решение для уравнения волны в одном измерении давалось [12] .

Эта формула представляет две формы волны, движущейся через среду в противоположных направлениях:

• F—в положительном x направлении,
• Г—в отрицательном x направлении (Формы F и Г функционально произвольны).

Смодулированные волны [ ]

Иллюстрация конверта (медленно переменная красная кривая) амплитуды смодулировала волну. Быстрая переменная синяя кривая — несущая, которая модулируется.

Амплитуда волны может быть постоянной или может быть смодулирована, чтобы измениться со временем и/или положением. Схему изменения в амплитуде называют «конвертом волны». Математически, смодулированная волна может быть написана в форме: [13] , [14] , [15]

u ( x , t ) = A ( x , t ) sin ⁡ ( k x − ω t + ϕ )

где — конверт амплитуды волны, k — число волны, и φ — фаза. Если скорость группы (см. ниже) — независимая длина волны, это уравнение может быть упрощено как: [16]

где v_g является скоростью группы, показывая, что «конверт волны» перемещается со скоростью v_g и сохраняет его форму. Иначе, в случаях, когда скорость группы изменяется с изменением длины волны, то изменения формы импульса часто описываемое в виде, как в случае при использовании уравнения «конверта волны». [17] , [18]

Постоянная волна [ ]

Постоянная волна. Красные точки — узлы волны

Постоянная волна, известная как постоянная волна, является волной, которая остаётся в постоянном положении. Это явление произходит тогда, когда среда перемещается в противоположном направлении к волне, или это может возникнуть в постоянной среде в результате вмешательства между двумя волнами, движущихся в противоположных напправлениях.

Сумма двух противоположно движущихся волн (равной амплитуды и частоты) создает постоянную волну. Постоянные волны обычно возникают, когда граница блокирует дальнейшее распространение волны, таким образом вызывая отражение волны, и поэтому вводя противоположнодвижущуюся волну. В экстремальных точках, две противоположных волны находятся в антифазе и отменяют друг друга, производя узел. На полпути между двумя узлами есть антиузел, где две противоразмножающихся волны увеличивают друг друга максимально. Нет в среднем положении никакого чистого распространения энергии <среднее число>.

См. также: Вибрационные волны [ ]

Скорость волны, распространняющаяся по вибрирующему множеству волн («веренице») (v) напрямую пропорциональна квадратному корню напряженности множества волн («вереницы») (T) по линейной массовой плотности (μ):

Волны в физике — что это такое, виды, характеристики, примеры

Каждый день вас окружает множество волн. В этой статье вы узнаете, что это такое и какими свойствами они обладают.

Простое объяснение волн с точки зрения физики

В качестве концепции вы можете представить волну как форму с последовательными восходящими и нисходящими частями. К этой категории относится, например, волна воды.

Однако эти части, поднимающиеся и опускающиеся вверх и вниз, не являются случайными по форме и расположению, а следуют очень определенной схеме. Этот паттерн показывает, как частицы среды, в которой распространяется волна, колеблются вверх и вниз. Частицы «возмущаются» волной определенным образом.

Определение: под волной можно представить возмущение в среде, которое движется с фиксированной формой и постоянной скоростью.

На рисунке 1 показано, например, как такое возмущение в виде холма движется по веревке слева направо. Во время движения частицы веревки поднимаются вверх от переднего конца возмущения и тянутся вниз от заднего конца.

Рис. 1. Волна как возмущение в веревке

От света, который вам нужен, чтобы видеть, до звука, который вам нужен, чтобы слышать, до интернет-сигнала, который вам нужен для работы в Интернете, — все это волны. Как видите, волны — неотъемлемая часть жизни человека.

Виды волн

В этом подразделе мы рассмотрим различные виды волн и то, к какой области теоретической физики они относятся.

Поперечные и продольные волны

Например, в волне воды, которая движется слева направо, отдельные частицы воды колеблются вверх и вниз. Поэтому движение частиц перпендикулярно движению волны. Эти типы волн называются поперечными и могут быть поляризованными.

Звуковые волны (также называемые для краткости звуком), которые позволяют вам слышать, являются примером продольных волн. В продольных волнах частицы вовлеченной среды колеблются в направлении движения волны. Поэтому движение частиц параллельно движению волн.

Рис. 2. Поперечная волна и продольная волна

Волны в физике

Следующий список дает вам представление о том, с какими волнами вам, возможно, придется иметь дело в той или иной области физики:

• Классическая механика: механические волны и гравитационные волны;
• Электродинамика: электромагнитные волны;
• Квантовая физика: волны материи и волны вероятности.

Волна — это тип возмущения, которое распространяется с фиксированной формой. В этом разделе мы рассмотрим его свойства и поведение. Мы рассмотрим следующие моменты немного подробнее:

• Характеристики волн: амплитуда, частота, длина волны и скорость распространения;
• Поведение волн: отражение, преломление, дифракция и суперпозиция волн.

Характеристики волн

Чтобы описать характеристики, рассмотрим частный случай синусоидальных волн. В синусоидальных волнах восходящие и нисходящие части повторяют форму синусоидальной кривой.

Из этой схемы (паттерна) (рисунок 3) мы выделили следующий фрагмент: кривая начинается с нуля, идет к самой низкой точке, затем возвращается к нулю, продолжается до самой высокой точки и, наконец, возвращается к нулю.

Рис. 3. Синусоидальная волна

Амплитуда.

Расстояние по вертикали между высокой или низкой точкой и нулевой точкой называется амплитудой. Амплитуда обеспечивает барьер, внутри которого задерживаются восходящие и нисходящие части волны.

Например, если амплитуда водной волны составляет 2 метра, это означает, что при движении морской волны частицы воды поднимаются на максимальную высоту 2 метра.

Частота и длина волны.

Вы также можете представить себе синусоидальную волну следующим образом: мы копируем выбранный кусок и вставляем его бесконечное количество раз как слева, так и справа от него. Таким образом, этот выбранный фрагмент уже определяет поведение волны. Термин для этого — период.

Мы можем охарактеризовать этот период двумя способами:

1. Сколько времени требуется волне, чтобы пройти вдоль выбранного участка? Это описывает период времени или его обратную величину — частоту волны.
2. Какова горизонтальная ширина выбранного фгагмента? Это дает вам пространственный период волнового процесса или длину волны.

Важно знать! Расстояние по горизонтали между двумя последовательными максимумами (самая высокая точка) или минимумом (самая низкая точка) часто называется длиной волны.

Рис. 4. Характеристики волн

Скорость распространения волны.

Длина волны и частота волны тесно связаны между собой.

Важно знать! Скорость распространения волны = длина волны * частота волны.

Скорость распространения v волны связана с ее длиной волны λ и частотой f следующим образом: v = λ * f .

Например, если вы раскачиваете веревку вверх и вниз, создавая «веревочную волну», скорость распространения говорит вам о том, как быстро удаляется от вас высокая точка (или любой другой участок) волны.

Отражение, преломление и дифракция волн.

Если волна попадает в другую среду, могут произойти следующие два явления:

1. Происходит отражение. Часть входящей волны отражается на границе раздела двух сред. Эта отраженная часть распространяется дальше в исходной среде. Отраженная волна имеет ту же длину волны, что и входящая;
2. Происходит преломление. Часть входящей волны преломляется на границе раздела. Эта преломленная часть распространяется в новой среде с другой длиной волны. Так называемый коэффициент преломления определяет, будет ли длина волны короче или длиннее.

Например, когда свет от солнца попадает на поверхность воды, среда меняется с воздуха на воду. Это приводит к тому, что часть света отражается, а часть преломляется. Это также является причиной того, что вы можете увидеть солнце, например, в луже воды.

Теперь для того, чтобы что-то произошло, волна не обязательно должна попасть на новый носитель. Если внутри текущей среды поместить препятствие, например, в виде стены с одним прямоугольным проходом, то может возникнуть явление дифракции (см. рисунок 5). Проще говоря, дифракция описывает явление, когда волна после прохождения не движется по прямой линии.

Рис. 5. Отражение, преломление и дифракция волн

Суперпозиция волн.

До сих пор мы рассматривали только одну волну. Но что происходит, когда две (или более) волны сталкиваются? Возникает явление, которое называется суперпозицией волн. Однако эта суперпозиция не возникает каким-то образом, а следует определенному принципу, который мы знаем под названием «принцип суперпозиции».

Чтобы объяснить принцип суперпозиции в случае волн, давайте снова рассмотрим синусоидальные волны. Каждая точка на синусоиде дает вам значение, которое является мерой силы отклонения частиц.

Принцип суперпозиции простыми словами: в каждой точке пространства, где встречаются две волны, вы складываете значения двух синусоид. Итог этого сложения дает результирующую волну.

В соответствии с принципом суперпозиции различные явления могут наблюдаться в суперпозиции. К ним относятся, в частности:

• Интерференция. В точках, где, например, встречаются два «холма» или две «впадины», суперпозиция приводит к усилению волны — возникает конструктивная интерференция. Теперь холм может встретиться с впадиной (или наоборот). В результате суперпозиция приводит к ослаблению волны — возникает деструктивная интерференция;
• Стоячие волны. Суперпозиция двух волн может привести к тому, что результирующая волна будет по-прежнему колебаться вверх и вниз, но она больше не будет двигаться слева направо (или наоборот) — в некотором смысле она «стоит» в пространстве. Этот тип волны называется стоячей волной.

Музыкальные инструменты создают стоячие волны посредством суперпозиции. Эти стоячие волны, в свою очередь, вибрируют в окружающем воздухе, создавая звуковые волны, которые доходят до ваших ушей и в конечном итоге позволяют вам услышать музыку.

Механические волны и электромагнитные волны

В этом разделе мы рассмотрим конкретные примеры механических и электромагнитных волн.

Механические волны

Волны, для распространения которых необходима среда, называются механическими волнами. Без среды механические волны не могут распространяться. В идеальном вакууме, например, звуковая волна не может распространяться.

Когда возникает механическая волна, периодическое движение одной частицы среды передается соседним частицам по мере того, как волна движется через среду. Частицы определенным образом «механически» связаны друг с другом.

Самым важным примером механической волны является звук. Звук окружает вас каждый день, будь то разговор с друзьями или прослушивание музыки. Звуковые волны позволяют вам слышать. Они возникают в результате вибрации частиц воздуха.

Электромагнитные волны

Электромагнитные волны не нуждаются в среде для распространения. Если для их распространения не нужна среда, то что тогда колеблется? Электромагнитная волна состоит из электрического и магнитного полей. И именно эти поля колеблются вверх и вниз.

Помните! Периодически изменяющееся электрическое поле приводит к возникновению магнитного поля, которое также периодически изменяется, и наоборот, — таким образом происходит генерация электромагнитной волны.

Например, свет солнца — это электромагнитная волна. Это означает, что электромагнитные волны, помимо всего прочего, отвечают за то, что вы можете что-то видеть. Но вам также нужны электромагнитные волны, чтобы иметь возможность совершать телефонные звонки или пользоваться Интернетом.

Её величество волна

Понятие «волна» считается настолько интуитивно ясным, что на этом вопросе не принято останавливаться детально даже при дискуссии на относительно простые темы. Однако выясняется, что и в этом вопросе полное согласие достигается редко.
В обсуждении одной из серьезнейших и актуальнейших тем теоретической физики – в теории полевого взаимодействия – значительные проблемы возникают именно из-за несогласованности в терминологии, прежде всего, в том, что понимается под «волной», «волновым излучением».
Принято считать в современной физике, что свет обладает «двойственной природой», а именно: волновой и корпускулярной. Этот вопрос нельзя считать решенным окончательно, поэтому дискуссии на эту тему чрезвычайно необходимы. Но не только плодотворного развития этого направления, но даже и понимания этого утверждения никогда не будет достигнуто, прежде чем не будет достигнуто единства в трактовке терминов «волна» и «поток частиц».
А ведь еще Декарт предупреждал, что любой научный диалог требует предварительного согласия в теме исследований и в терминологии.
Актуальность нового и корректного определения понятия «волна» следует хотя бы из того, что дискуссии о свете и о его природе в настоящее время не только не утихают, но возобновляются с новой силой; эти дискуссии никогда не приведут к истине, пока не будет достигнуто единства в терминологии.

КЛАССИФИКАЦИЯ: ВОЛНЫ И НЕ ВОЛНЫ

Обратимся к «Википедии» и увидим почти подходящее определение волны «Волна; – изменение состояния среды (возмущение), распространяющееся в этой среде и переносящее с собой энергию» [1]. Но зачастую используются и другие определения, либо неполные, либо ошибочные. В частности, есть и такое: «В физике волнами или волной называют всякое изменяющееся во времени пространственное чередование максимумов и минимумов любой физической величины, например плотности вещества, температуры, напряженности электрического поля» [2]. В этом втором утверждении нет важного свойства: переноса энергии. Хотя в дальнейшем в цитированной статье разъясняется, что перенос энергии все же происходит, но без переноса вещества. Это – правильно.
В той же «Википедии» справедливо отмечается, что некоторые явления, которые выглядят как волны, например, песчаные дюны, волнами не являются, а также справедливо разделяются понятия «рябь» и «волна» [1].
К сожалению, Майкельсон в одной из основополагающих статей, где рассматривал волновые явления в свете, не дал определения «волны» или «волновому процессу» [3]. Такое не достаточно тщательное отношение к исходным определениям, возможно, ранее как раз и породило необоснованные (как теперь уже доказано) прогнозы, которые драматически не подтвердились в его опытах и вынудили искать примирения практики с теорией на путях введения еще менее обоснованных гипотез.
Ошибочно утверждать, что волна не переносит энергии. Такое можно утверждать лишь в отношении математического понятия, мало связанного с реальными физическими процессами. С натяжкой можно это сказать и про стоячие волны, но, во-первых, это – особый вид колебаний, который можно описать суперпозицией нескольких (двух) колебаний, переносящих все же энергию, во-вторых, если стоячие волны не затухают, они все же черпают энергию из некоторого источника. Из этого следует, что волновые явления не только переносят энергию, но и где-то ее расходуют, о чем зачастую забывают.
При обсуждении этого понятия приводятся зачастую примеры принципиально разной природы, откуда и проистекают эти ошибки.
В школьных курсах с понятием волны знакомят на примере волн на поверхности воды. И это не вполне корректно. Поскольку далеко не всякое колебательное движение поверхности воды является волновым. Колебания в кювете с водой, распространяющиеся от погруженного в воду движущегося предмета волнами являются в полном смысле этого слова. Но не верно приводить в качестве примера волны рябь, возникающую на поверхности воды от ветра. Эта рябь имеет ту же природу, что и рябь на поверхности, допустим, пшеничного поля или песчаной пустыни. В этом случае не происходит явления зарождения и распространения волн по тем правилам, которые обычно применяют в теории к волновым процессам. В этих примерах нет места интерференции, дифракции, принципу Гюйгенса. Поэтому не целесообразно эти явления рассматривать в физике как пример волновых процессов. Эти явления «в чистом виде» столь же далеки от понятия «волны», как волнообразные отпечатки от следов гусеничной техники.

Прежде всего, надо осознать, что в физике о волнах говорят преимущественно в связи со звуковыми и электромагнитными волнами, не зависимо от диапазона частот. Сюда входят и ультразвуковые, инфразвуковые колебания, и свет. Кроме того, принято считать, что гравитация распространяется также волновым полем.
Все перечисленные виды «излучения» переносят энергию от источника в окружающее пространство, равно как могут переносить и информацию.
Кстати, в информатике обоснованно утверждается, что перенос информации без передачи энергии невозможен, а в метрологии столь же обосновано утверждается, что не возможно измерение без изъятия хоть какой-то доли энергии из процесса.
Радиосвязь осуществляется, разумеется, с переносом энергии от излучателя к приемникам. Световое излучение также связано с переносом энергии. То же самое можно сказать и о звуковых волнах.
Предположение о том, что волны не переносят информации, возможно, связано с рассмотрением поля статического заряда. Можно сказать, что статический заряд в момент своего возникновения перераспределил напряженность электрического поля вблизи места своего расположения, то есть осуществил некоторую работу, но в этот момент он еще не был статическим. После того, как он возник и перестал меняться, то есть стал статическим зарядом в полном смысле этого слова, энергия более не передается в пространство, если не существует утечки заряда. Статический заряд не меняет энергию, не передает информацию, не испытывает «сопротивления среды» ни в какой форме. Можно ли рассматривать статический заряд как объект изучения волновых явлений – это вопрос особый. Так же особым вопросом является рассмотрение гравитации в волновой теории, поскольку статическое гравитационное поле, можно сказать, не теряет энергии, но если под действием гравитационного поля какой-то объект приобретает ускорение, то поле в этой точке уже далеко не статическое. Рассмотрение этих вопросов выходит за рамки настоящей заметки.
Надо отметить, что имеется давно сложившееся бытовое понятие «волна», что и осложняет формулирование физического понятия «волна», «волновые явления», «волновое излучение», «волновое взаимодействие» и т.д.
Эта проблема возникает зачастую, когда бытовое понятие становится основой научного термина.
С одной стороны, в школьных курсах зачастую вместо четкой формулировки понятия дается представление об этом понятии на примере. С другой стороны, понятие считается настолько интуитивно ясным, что на его определении долго не останавливаются. В последствии пробелы в ясности этого понятия дают о себе знать глубоким непониманием темы дискуссии.
Так, например, трудно ввести понятие «жидкость», избегая упоминания наиболее распространенного примера, то есть с воды. Определение же воды как жидкости целесообразно лишь в том случае, если жидкость определена без упоминания о воде. Скажем, если жидкость определить как «агрегатное состояние вещества, такое же, при котором находится вода при комнатной температуре», то определение «вода – это жидкость…» будет не понятным.
Соответственно, определяя волны как нечто, аналогичное движению на поверхности воды, мы гребем все под одну гребенку – и собственно волны, и далеко не волны.

Это понятие следует очистить от необоснованных аналогий и дать вполне четкое определение.

Не только в школьных курсах, но и в солидных научных трудах при разъяснении понятия «волна» апеллируют чаще всего к поверхностным волнам на поверхности воды. Этой же аналогией воспользовался Майкельсон при изложении материала о природе света.
На самом деле существует, как минимум, три принципиально различных вида физических явлений на поверхности воды, которые мы одинаково называем волнами.
Первый вид движений корректнее назвать «рябь», или «морщинистые явления под действием внешнего сжимающего воздействия», второй вид – «поверхностные волны», третий – «волны в толще жидкости».
1. И мелкая рябь на поверхности лужицы, и те даже самые «ужасные» волны, которые раскачивают и порой сокрушают корабли, включая известный по легендам и по картине Айвазовского «девятый вал» — все это надо отнести к одному классу, не зависимо от величины отдельных волн и характеру их распространения. Не важно как назвать этот вид волнообразных движений, например, «поверхностная рябь» вполне годится.
2. «Поверхностными волнами» следует, видимо, назвать распространение колебательных возмущений от источника колебаний на периферию под действием динамического противоборства двух причин движений. С одной стороны, это возникшая «напряженность» вследствие локального «выталкивания» или «вытягивания» какого-то количества вещества из равновесного состояния, с другой стороны это — упругие силы, которые стремятся вернуть систему в исходное равновесное состояние. Слова «динамическое противоборство» указывают на наличие контура отрицательной обратной связи, где соотношение быстродействия перехода кинетической энергии в потенциальную и быстродействия обратного перехода таково, что возвращение в исходное равновесное состояние не заканчивается на одном цикле, а осуществляется по закону, близкому к затухающим квазигармоническим колебаниям.
3. Вне рассмотрения по этой классификации оказываются волны не поверхностные – в том случае, когда амплитуда колебаний вещества соизмерима с глубиной бассейна, поэтому рельеф дна оказывает влияние на характер распространения волн (в частности, при приближении волн к берегу их амплитуда резко возрастает). Эти явления не следует, видимо, называть «поверхностными волнами», более корректно называть их волнами вещества.

Главное, что «поверхностная рябь» не только не переносит вещества, но не переносит и энергии в направлении распространения. Собственно говоря, направление распространения поверхностной ряби не связано со скоростью движения этого вещества. Примером может служить рябь на поверхности пшеничного поля. Причина «волнообразного» движения в таких примерах кроется не в связях между элементами упругого вещества, а в привносимым извне движением. Природа возникновения «волн» на поверхности в этом случае связана с тем, что ветер не может полностью вырвать порции воды (этому препятствуют силы поверхностного натяжения). Поэтому ветер лишь возгоняет часть воды кверху до тех пор, пока на гребне не установится равновесие этих двух противоборствующих сил. Если бы сил поверхностного натяжения не было, не было бы и ряби, как нет ее в случае, когда ветер поднимает пыль, снег или пух. Природа ряби на песке в пустыне, видимо, другая. По аналогии можно представить себе, например, бревно на двух веревках, которое некая сила тянет по мягкому грунту вперед в направлении, перпендикулярном веревкам. Вначале перед бревном соберется складка грунта, но далее количество его станет таким большим, что бревно уже не будет его сгребать, а перевалится через эту складку. Далее ситуация повторится, появится новая складка, которую бревно опять сгребет, а потом перевалится через нее. Как видим, при определенных условиях некая внешняя сила может при взаимодействии с веществом образовать складчатую структуру вовсе не вследствие возникновения волн.
Пример с пшеничным полем наиболее наглядно показывает, что не происходит не только переноса вещества, но и переноса энергии.
Поскольку волнообразные движения поверхности рождаются извне, в этом случае не будут наблюдаться и явления интерференции, которые характерны для настоящих волн. Если среди пшеничного поля имеется камень или проплешина, позади этого дефекта мы не увидим таких характерных краевых эффектов, которые бы наблюдали в случае истинных волн. Например, если посреди озера стоит резервуар с низкими краями, заполненный водой, то поверхностная рябь воды будет и внутри резервуара и снаружи, хотя и разная, но вполне близкая по характеристикам. Если стенки резервуара поднять или резервуар накрыть крышкой, то внутри резервуара ряби уже не будет. Если какой-то достаточно большой участок поверхности воды накрыть крышей с некоторым зазором, но не отделять стенками, так, чтобы под этой крышей не было ветра, то в этом месте будут распространяться именно поверхностные волны, для которых рябь на границе их появления будет причиной их возникновения. Эти волны будут распространяться по всем правилам движения волны, и при желании можно будет наблюдать все волновые явления, включая интерференцию и дифракцию.
В условиях отсутствия ветра (или в случае, если ветер вносит пренебрежимо малый вклад в формирование волн) можно легко наблюдать поверхностные волны, но для них непременно нужен источник. Брошенный в воду камень является кратковременным источником волн. Волны распространяются кругами. Нелепо было бы утверждать относительно этих волн, что они не переносят энергию. До возникновения таких волн поверхность была спокойной. Всякие мелкие предметы на этой поверхности остаются неподвижными. Волна заставляет их колебаться. Движение не может возникнуть без потребления энергии от некоторого источника.
Плоская волна возникнет, если погрузить в воду длинный предмет и начать его колебать вертикально или горизонтально. Неверным было бы и утверждение, что при распространении волны вещество не движется. На примере воды мы видим, что вещество тоже совершает некоторые движения, но только это движение не является постоянным по направлению и строго поступательным в направлении распространения волны. В каждом участке воды волна совершает некоторые циклические движения. Чтобы образовать гребень в одном месте, вода из другого места перемещается в другое и обратно. В примере расходящихся концентрических кругов вода движется и радиально и вертикально, но движение в радиальном направлении происходит по колебательному закону и «в среднем» вещество не переносится. Порции воды расходятся и радиально (чтобы собраться в бугры) и возвращаются обратно (чтобы образовать впадины). Если рассматривать движения воды «детально», то перемещение вещества имеет место, если же охватить процесс «глобально», то вещество не переносится. Опыты с окрашенной, но не перемешанной водой, или с водой, помеченной пенопластовой крошкой, могут продемонстрировать, что волны распространяются без глобального переноса вещества.
Рассмотрение волн в толще воды (по третьему пункту классификации) выходит за рамки данной заметки.
Вне этой классификации можно продолжить рассмотрение различных явлений, волновых и не волновых.
В частности, в твердых телах можно выделить следующие виды волновых явлений:

4. Поперечные волны в твердом теле.
5. Продольные волны в твердом теле.

В шнуре можно выделить следующие виды волн:

6. Поперечные волны в гибком шнуре со свободным концом.
7. Поперечные волны в гибком шнуре с закрепленным концом (а также с подвижным закрепленным концом).
8. Суперпозиция таких волн (например, вращательное движение шнура).

Волны несколько иной природы могут возникать в газах. В частности, звуковые волны в газах распространяются почти так же, как в жидкостях, но совершенно не так, как в твердых телах.
Волны могут возникать и в цепных или шарнирных соединениях, и их математическое описание будет отличаться от всех указанных выше примеров. Можно сказать, что, видимо, сколько видов шарнирных соединений можно придумать, столько же видов волн для них существует (помноженное на число видов порождающих движений).
Электромагнитные волны не укладываются ни в одну из перечисленных классификаций, поскольку они больше напоминают волны в чрезвычайно специфических шарнирных соединениях. Об этом речь пойдет ниже.

ВОЛНА И ПЕРЕНОС ЭНЕРГИИ

Если мы не поймем важного факта, что волна переносит энергию от источника в окружающее пространство, значит, что мы вообще не поймем, что такое волна.
Только в стоячей волне, то есть в случае наложения волны и его отражения, понятие «направление от источника» частично утрачивает смысл, и то лишь потому, что в задачу вовлечены как бы два источника. Во всех остальных случаях это направление чрезвычайно важно. Стоячие волны – это ситуация установившегося динамического равновесия. В этом специфическом случае энергия от источника не расходуется и не передается на расстояние. Если на этих стоячих волнах «раскачивается» какой-то объект, то уже имеет место передача энергии от источника к приемнику.
В радиально расходящихся волнах или в плоских волнах энергия от источника направляется в окружающее пространство. Если в пространстве находится приемник, то, как правило, вследствие его взаимодействия со средой, этот приемник также является другим источником. Если объект получает ускорение, то он частично гасит напряженность поля, сосредоточенную в пространстве около него, то есть получает из поля энергию. Поэтому также имеет место обмен энергией. Если объект усиливает напряженность поля, то он также излучает энергию, если он ослабляет напряженность поля, то он потребляет энергию, если объект и не усиливает и не ослабляет напряженность поля, то он попросту не взаимодействует с этим полем, и не может считаться ни приемником, ни источником излучения.
Сама среда кроме специальных случаев ослабляет поле, поэтому она также частично является приемником излучения. Не важно, что это ослабление пренебрежимо мало. Важно, что если бы среда с излучением не взаимодействовала, то она не передавала бы его и дальше. Вода не могла бы передавать поверхностную волну, если бы не участвовала в этом движении. Но если она в этом движении участвует, следовательно, она получает энергию. Следовательно, часть энергии тратится на это движение. Среда не может быть ответственной за распространение волн и при этом не гасить эти волны хоть сколько-нибудь. Если среда передает волны абсолютно без рассеяния ее, следовательно, эта среда не имеет никакого отношения к распространению этих волн. Но никакие волны не могут распространяться без среды вовсе. Следовательно, если вакуумом названа среда, ответственная за распространение света, то эта среда просто обязана частично поглощать энергию света по мере его распространения.

Итак, среда поглощает энергию, за счет чего и происходит распространение волны. В математическом описании волны должен присутствовать этот факт, если он не присутствует, то математическое уравнение волны не адекватно реальному процессу.
Скорость распространения волны напрямую связана с долей поглощаемой энергии и с «упругостью» среды по отношению к этим колебаниям.
Затухание сферической волны должно быть отражено в модели волны не только вследствие рассеяния энергии в пространстве, но и вследствие утраты некоторой доли энергии на преодоление сопротивления среды, которая ответственна за перенос волны.
Наиболее ярко это видно на примере изолированной плоской волны (то есть только от одного источника и в отсутствие препятствий). При распространении плоской волны ее рассеяния в пространстве нет. Рассмотрим две точки пространства на пути распространения этой волны. В точке, которая ближе к источнику, фаза колебаний должна опережать фазу колебаний в других точках, а амплитуда колебаний, возникающих вследствие прихода волны, должна быть строго больше, чем в точке, более удаленной от источника (явления интерференции и дифракции не рассматриваются, поскольку другие источники и препятствия исключены по условию задачи). Даже в двух соседних точках, сколь угодно близких друг к другу, энергия колебаний должна быть строго больше в той точке, которая ближе к источнику. Это отображает причинно-следственную связь. Колебания в точке, более близкой к источнику, по отношению к точке более далекой являются причиной, а колебания в более далекой точке по отношению к более близкой являются следствием. Причина по отношению к следствию должна быть связана энергетической зависимостью. Для того, чтобы энергия «самопроизвольно» передавалась из точки «причины» в точку «следствия», она должна быть больше в точке «причины» и меньше в точке «следствия». Это принципиально. В противном случае не будет разности энергетических потенциалов, не будет тогда и причины перетекания энергии от источника на периферию, не будет тогда и факта распространения волны от источника. Тогда по характеру волны нельзя будет сказать, в каком направлении источник. Но это противоречит эксперименту. Отставание фазы по мере удаления от источника столь же необходимое свойство волны, как и снижение уровня энергии в том же телесном угле по отношению к источнику (а для случая плоской волны – снижение уровня энергии в аналогичном и равном элементе пространства).
Если мы на пути волны поставим препятствие, то со стороны источника волновое движение сохранится, а с обратной стороны препятствия этого движения уже не будет.
Можно привлечь аналогию в электрической цепи. Хотя принято считать, что сопротивление проводника практически равно нулю, и в электрических схемах точки, соединенные проводами, считаются точками равного потенциала, на самом деле любой проводник обладает каким-то сопротивлением, пусть и чрезвычайно малым, и в любом проводнике потенциал в нем тем выше, чем ближе данная точка к источнику. (Реактивные элементы и резонансные явления мы тут не обсуждаем).
Для того чтобы энергия перетекала, необходим градиент этой энергии. Если градиент существует, следовательно, часть энергии теряется. Другие варианты просто немыслимы. Исходя из этого, можно сказать, что волна может распространяться лишь в среде, причем, лишь в «упругой» среде. Эта среда «сопротивляется» возникновению возмущений и отнимает часть энергии, расходует ее в самой себе, поглощает «разогревом».
Рассмотрим еще один наглядный пример: равноплечий архимедов рычаг, или попросту «качели», стержень, закрепленный шарниром посредине. Для простоты не будем принимать в расчет силу тяжести (проведем мысленный эксперимент в невесомости). Пусть на одном конце такого рычага некто прикладывает усилие по гармоническому закону с амплитудой 1м, а с другой стороны непременно присутствует «нагрузка» — хотя бы инерционность собственной части этого рычага. Из опыта и из теории мы знаем, что второй конец рычага будет совершать противофазные колебания с такой же амплитудой, т.е. тоже 1м. Но истина состоит в том, что лишь один конец связан с причиной колебаний, а другой колеблется как следствие. Жесткость стержня достигается силами упругости, а эти силы возникают лишь при деформации. Следовательно, когда ведомый конец движется вверх, он делает это под действием соответствующей силы, хотя бы преодолевающей инерционность самого стержня. Эта сила возникает лишь при деформации стержня вниз. То есть стержень слегка изгибается, как бы «не соглашаясь» двигаться в навязанном направлении, и чем более жесткий стержень, тем меньше эта деформация, но принципиально она присутствует всегда. Аналогично при движении ведомого конца вниз, он также будет отставать, «не соглашаясь» с навязанным движением вследствие инерционности. Следовательно, амплитуда колебаний второго конца стержня будет уже не строго равной 1м, а станет несколько меньшей. При наличии силы тяжести просто добавится изгиб качелей вниз для возникновения сил упругости, преодолевающих силы тяжести.
Итак, вроде бы, в жесткой системе равноплечего архимедова рычага амплитуда колебаний передается без изменений, но строго теоретически эта амплитуда на некоторую (пусть крайне малую величину) все же меньше. И это уменьшение связано с сопротивлением среды – в данном случае с инерционностью стержня.
Вода – достаточно подвижная среда. Возмущениям она «сопротивляется» слабо, но в связи с присутствием сил поверхностного напряжения она «стремится заштопать дыры» достаточно сильно. Поэтому амплитуды колебаний достаточно заметны, и поэтому поверхностные волны легко наблюдать визуально. Если бы возвратные силы были слабы, то от возмущения оставались бы только кратеры, как в пыли на поверхности Луны. Если бы сопротивление было значительным, то волны были бы чрезвычайно мелкими, как звуковые волны в жестких телах. На практике мы всегда наблюдаем достаточно заметное затухание волн на поверхности воды. Это лишний раз экспериментально подтверждает, что всякие волны так или иначе затухают. Если бы мы сравнивали амплитуду двух соседних волн, мы, вероятно, не обнаружили бы разницы амплитуд. Это отнюдь не доказывает того, что волны не затухают – это лишь демонстрирует относительно слабое затухание волн на таком кратком отрезке.
Аналогично никакие эксперименты со светом вблизи поверхности Земли не демонстрируют на практике изменения частоты излучения света. И это отнюдь не опровергает экспериментально того теоретического положения, что свет при распространении в вакууме теряет энергию. Это лишь указывает, что на таких малых расстояниях, если потери и имеют место, то они незначительны, то есть наша измерительная аппаратура не достаточно чувствительна для обнаружения их. Однако, изучение спектра излучения отдельных атомов в составе излучения от космических объектов показывает, что спектры имеют характерный сдвиг в красную область. И этот сдвиг тем больше, чем дальше от нас объекты. То есть затухание частоты света тем больше, чем дольше свет распространялся в космическом пространстве. Этот факт является ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫМ ДОКАЗАТЕЛЬСТВОМ того теоретического положения, что СВЕТ, распространяясь В КОСМИЧЕСКОМ ВАКУУМЕ, ТЕРЯЕТ СВОЮ ЭНЕРГИЮ на преодоление сопротивления этой среды.

Воздух – еще более подвижная среда, чем вода. Относительно медленные перемещения предметов в воздухе волн не порождают. Быстрые перемещения предметов в воздухе порождают звуковые волны, потому что к быстрым перемещениям вещества воздух более консервативен, по отношению к большим скоростям колебаний воздух проявляет себя как упругая среда.
Аналогично вакуум проявляет упругие свойства по отношению к электромагнитным колебаниям.
Ошибкой Майкельсона, которую не обнаружили последующие теоретики, было утверждение, что поляризованные волны могут распространяться лишь в упругой среде, и, следовательно, вакуум можно рассматривать как жесткую среду по отношению к электромагнитным колебаниям (в том числе к свету). Действительно, в жестком теле могут распространяться поперечные волны, и, действительно, поперечные волны могут быть поляризованные. Но не верно, что лишь в жестком теле существуют поляризованные волны. Волны как свободные колебания могут сохранять свою поляризацию не только в случае их распространения в жестком теле. Особенностью электромагнитных волн является то, что электрические поля, изменяясь в одной плоскости, порождают изменяющиеся магнитные поля в ортогональной плоскости, а изменяющиеся магнитные поля опять-таки порождают изменяющиеся электрические поля опять же в плоскости ортогональной по отношению к этой новой исходной плоскости. Итак, колебания электрические сохраняют плоскость своих колебаний, а колебания магнитные – также сохраняют плоскость своих колебаний. Колебания просто не могут изменить своей ориентации в силу самой природы их распространения. Искусственной гипотезы о жестких свойствах вакуума не требуется для формирования теории, поскольку уже известные свойства этого процесса вполне объясняют известное свойство электромагнитных волн, состоящее в их поляризованности.

СЛЕДСТВИЯ ЗАТУХАНИЯ СВЕТОВЫХ ВОЛН

Красное смещение (эффект Хаббла) является естественным следствием затухания энергии во всех видах волн.
Волны просто не могли бы распространяться в заданном направлении, если бы не было затухание «энергетического потенциала». В этом случае не было бы признака «направления» от «источника» к периферии.
Затухание дает естественное следствие: увеличение длины волны, или снижение частоты колебаний, поскольку частота колебаний связана с энергией.
Свет во вселенной потому смещается в красную область, что он теряет энергию в ходе своего распространения. А теряет он энергию потому, что распространятся в среде от источника. Иначе просто и быть не могло бы.
Таким образом, стоит нам только вдуматься в смысл некоторых понятий, и «таинственная загадка» перестает быть загадкой, а становится совершенно естественным следствием, теоретически предсказуемым.
Ранее я детально разобрал вопрос, почему в опыте Майкельсона не было выявлено перемещения интерференционной картины. Причина состоит в том, что такого перемещения и не должно было бы возникнуть на практике, поскольку оно и теоретически не должно возникать. Прогноз о том, что «эфирный ветер» так себя проявит, был сделан ошибочно, поскольку рассмотрение процессов было осуществлено не корректно. Если же эти процессы рассмотреть более корректно, то получается теоретически именно тот самый прогноз, который и получился на практике, то есть «эфирный ветер» в таком эксперименте и не должен себя проявлять, но это отнюдь не опровергает наличия среды, ответственной за распространение света. Эта среда не только имеется, но и рассеивает в себе часть энергии света, и именно поэтому наблюдается эффект Хаббла, который как раз в этом и состоит.
Никакого «расширения вселенной» нет, гипотеза о таком расширении абсолютно необоснованна.
Как, например, удлинение тени вечером и утром совершенно не связано с каким-либо изменением роста людей, а причина совсем в другом, так же и тут. Хотя, конечно, если бы рост людей увеличивался по утрам и по вечерам, то тень тоже удлинялась бы. Но дело-то в том, что нам при изучении научных явлений нужны не «правдоподобные» объяснения, а ИСТИННЫЕ. Истинное объяснение увеличения теней состоит в том, что предметы освещаются под иным углом.
Точно так же ИСТИННОЕ объяснение уменьшение частоты колебаний (или увеличение длины волны) света, который прошел гигантские расстояния в космосе состоит не в том, что размеры в космосе постоянно увеличиваются, а в том, что свет постоянно теряет какую-то маленькую долю своей энергии на преодоление расстояния, то есть на распространение световой волны в пространстве. Хотя, конечно, если бы рост вселенная расширялась, то и свет получал бы приращения длины волны в красную область. Но дело-то в том, истинное объяснение увеличения длины волны света состоит в том, что теряется энергия.

Похожие публикации:

1. Веерные грабли для газона какие лучше
2. Документы по изон домклик что это такое
3. Как восстановить эластичность резиновых уплотнителей в автомобиле
4. Стир машина канди малютка чем отличаются