Люди, что первым решается в математике: плюс, минус, умножить или разделить?
Часто задаваемый вопрос при обучении математике — что первым решается: плюс, минус, умножить или разделить? В ответ на этот вопрос многие скажут, что мы должны сначала решить умножение или деление, а затем прибавить или вычесть.
Однако, на самом деле, не существует четкого правила о том, что решается первым. Все зависит от приоритета операций и заданной последовательности действий.
В школе мы учимся придерживаться "мнемонике", которая называется PEMDAS, что расшифровывается как "сначала выполняем скобки, затем возведение в степень, затем умножение и деление, и в конце — сложение и вычитание". Это значит, что если у нас есть выражение, содержащее скобки, то мы должны сначала решить скобки, и только потом двигаться дальше.
Если скобок нет, то мы должны сначала выполнить умножение или деление, а затем — сложение или вычитание. Однако, если есть несколько операций умножения или деления в одном выражении, то их нужно решать слева направо.
Вот пример, чтобы помочь понять приоритет операций. Рассмотрим выражение:
Согласно PEMDAS, мы должны сначала решить умножение и деление, а затем — сложение и вычитание. Это означает, что мы должны сначала умножить 3 на 2 и разделить 4 на 2 , а затем прибавить 5 и вычесть результат.
Таким образом, ответ на вопрос о том, что первым решается в математике, зависит от приоритета операций и заданной последовательности действий. Мы должны следовать правилу PEMDAS и решать операции в правильном порядке, чтобы получить правильный ответ.
Сначало сложение или вычитание?
Обычное правило таково — приоритет, если только эти два действия в выражении и скобок нет, отдается тому действию, которое находится левее, хотя, можно просто представить выражение как сложение чисел, где вычитание будет просто обозначать отрицательное число, например, 3+2-1, это все равно, что 3+2+(-1).
Сложение и вычитание равносильны по порядку исполнения, да и от перемены мест слагаемых сумма не меняется. А вычитание это та же сумма, только приплюсовывается отрицательное число.
Пример 1: 5-6=5+(-6) сложение и вычитание это по сути одно и то же.
Пример 2: 5+6-7=5-7+6=4 от перемены мест слагаемых сумма не меняется, поэтому не имеет значения, в каком порядке вычислять. Важно только учитывать, какой знак стоит перед числом, то есть положительное оно или отрицательное.
Имеют значение только скобки
В ваших примерах всё элементарно:
1)20+(78-6-7+8)=20+78-6-7+8=93 Тут скобки вообще никакого воздействия не производят, можно считать в любом порядке, как будто скобок и нет.
2)70-(56-9+5)+12= А тут из-за того, что знак минуса перед скобкой, можно либо сначала вычислить то, что находится в скобках, то есть 56-9+5=52 и вставить в выражение: 70-52+12=30, либо просто раскрыть скобки. Так как тут перед скобкой стоит знак минус, то при раскрытии скобок у всех чисел, находящихся в скобках знак меняется на противоположный. Получается:70-(56-9+5)+12=70-56+9-5+12=30
3) А в третьем примере вы забыли написать открывающую скобку:
Но учитывая, что слева оба плюса, то также в этом выражении куда открывающую скобку не поставь, всё равно ничего не меняется и от перемены мест слагаемых сумма не меняется.
Поэтому решается просто без скобок:
Тут ещё к тому же 5 и -5 друг друга взаимно уничтожают, а также 8 и -8, поэтому и калькулятор не понадобился, так как ответ 925 сразу виден.
Порядок выполнения действий, правила, примеры
Когда мы работаем с различными математическими выражениями, включающими в себя цифры, буквы и переменные, нам приходится выполнять большое количество арифметических действий: деление и умножение, сложение и вычитание степеней и др. Когда нужно сделать расчет и преобразование или вычитание значение, очень важно соблюдать правильную очередность или расстановку этих действий. Другими словами, действия в арифметике имеют свой особый порядок выполнения. Порядок действий в математике и для любого математика крайне важен.
В этой не слишком длинной и сложной статье мы расскажем, какие действия должны делаться математически в первую очередь, а какие после (к примеру, сначала идет деление или умножение). Для начала разберем несколько простых выражений, в которых есть только переменные или числовые значения или символы, а также знаки деления, умножения, вычитания и сложения (к примеру, пять плюс ноль равно пять). Потом возьмем примеры со скобками и рассмотрим, в каком порядке следует решать эти примеры по действиям. В третьей части мы приведем нужный порядок преобразований и вычислений в тех примерах по действиям, которые включают в себя знаки корней, степеней и других функций.
Порядок вычисления простых выражений
В случае выражений без скобок порядок действий определяется однозначно:
- Все действия выполняются слева направо.
- Сперва мы выполняем деление и умножение, во вторую – вычитание и сложение (нужно прибавлять). Теперь понятен ответ на вопрос, что первое деление или умножение.
Смысл этих правил легко уяснить. Традиционный порядок записи слева направо определяет основную последовательность вычислений, а необходимость сначала умножить или разделить объясняется самой сутью этих операций.
Возьмем для наглядности этого двойного правила несколько задач. Мы использовали только самые простые числовые выражения, чтобы все вычисления можно было провести в уме. Так можно быстрее запомнить нужный порядок и быстро получить проверочные результаты.
Пример с прибавлением и вычитанием 1
Условие: вычислите, сколько будет 7 − 3 + 6 .
Решение
В нашем выражении или высказывании, которое обычно решают средние классы, скобок нет, умножение и деление также отсутствуют, поэтому выполняем все действия в указанном порядке. Вначале делаем минус три из семи, затем делаем плюс к остатку шесть и в итоге получаем десять. Вот запись всего решения:
7 − 3 + 6 = 4 + 6 = 10
Ответ: 7 − 3 + 6 = 10 .
Условие: в каком порядке будут выполняться вычисления в выражении 6 : 2 · 8 : 3 ?
Решение
Чтобы дать ответ на этот вопрос, что делается первым деление или умножение, перечитаем правило для выражений без кавычек (скобок), сформулированное нами до этого. У нас здесь есть только умножение и деление, значит, мы сохраняем записанный порядок того, что нужно вычесть, и считаем последовательно слева направо.
Ответ: сначала выполняем деление шести на два, результат умножаем на восемь и получившееся в итоге число делим на три.
Условие: подсчитайте, сколько будет 17 − 5 · 6 : 3 − 2 + 4 : 2 .
Решение
Сначала определим верный порядок действий (приоритетность), поскольку у нас здесь есть все основные компоненты арифметических операций – сложение, вычитание, умножение, деление. Первым делом нам надо делить и перемножать. Что сначала деление или умножение? Эти действия не имеют приоритета друг перед другом, поэтому выполняем их в написанном порядке слева направо. То есть 5 надо умножить на 6 и получить 30 , потом 30 разделить на 3 и получить 10 . После этого делим 4 на 2 , это 2 . Подставим найденные значения в исходное выражение:
17 − 5 · 6 : 3 − 2 + 4 : 2 = 17 − 10 − 2 + 2
Здесь уже нет ни деления, ни умножения, поэтому делаем оставшиеся вычисления по порядку и получаем ответ:
17 − 10 − 2 + 2 = 7 − 2 + 2 = 5 + 2 = 7
Ответ: 17 − 5 · 6 : 3 − 2 + 4 : 2 = 7 .
Пока порядок выполнения действий не заучен твердо, можно расставить над знаками арифметических действий цифры, означающие порядок вычисления. Например, для задачи выше мы могли бы записать так:
Если у нас есть буквенные выражения, то с ними мы поступаем точно так же: сначала умножаем и делим, затем складываем и вычитаем.
Что такое действия первой и второй ступени
Иногда в справочниках все арифметические действия делят на действия первой и второй ступени. Сформулируем нужное определение.
К действиям первой ступени относятся действия, где нужно вычитать и слагать, а ко второй – умножать и делить.
Зная эти названия, мы можем записать данное ранее правило относительно порядка действий так:
В выражении, в котором нет скобок, сначала надо выполнить действия второй ступени в направлении слева направо, затем действия первой ступени (в том же направлении).
Решение примеров по действиям в выражениях со скобками
Скобки сами по себе являются знаком, который сообщает нам нужный порядок выполнения действий. В таком случае нужное правило можно записать так:
Если в выражении есть скобки, то первым делом выполняется действие в них, после чего мы умножаем и делим, а затем складываем и вычитаем по направлению слева направо.
Что касается самого выражения в скобках, его можно рассматривать в качестве составной части основного выражения. При подсчете значения выражения в скобках мы сохраняем все тот же известный нам порядок действий. Проиллюстрируем нашу мысль примером.
Пример или образец задачи 4
Условие: вычислите, сколько будет равно 5 + ( 7 − 2 · 3 ) · ( 6 − 4 ) : 2 .
Решение
В данном выражении есть скобки, поэтому начнем с них. Первым делом вычислим, сколько будет 7 − 2 · 3 . Здесь нам надо умножить 2 на 3 и вычесть результат из 7 :
7 − 2 · 3 = 7 − 6 = 1
Считаем результат во вторых скобках. Там у нас всего одно действие: 6 − 4 = 2 .
Теперь нам нужно подставить получившиеся значения в первоначальное выражение:
5 + ( 7 − 2 · 3 ) · ( 6 − 4 ) : 2 = 5 + 1 · 2 : 2
Начнем с умножения и деления, потом выполним вычитание и получим:
5 + 1 · 2 : 2 = 5 + 2 : 2 = 5 + 1 = 6
На этом вычисления можно закончить.
Ответ: 5 + ( 7 − 2 · 3 ) · ( 6 − 4 ) : 2 = 6 .
Не пугайтесь, если в условии у нас содержится выражение, в котором одни скобки заключают в себе другие. Нам надо только применять правило выше последовательно по отношению ко всем выражениям в скобках. Возьмем такое задание.
Условие: вычислите, сколько будет 4 + ( 3 + 1 + 4 · ( 2 + 3 ) ) .
Решение
У нас есть скобки в скобках. Начинаем с 3 + 1 + 4 · ( 2 + 3 ) , а именно с 2 + 3 . Это будет 5 . Значение надо будет подставить в выражение и подсчитать, что 3 + 1 + 4 · 5 . Мы помним, что сначала надо умножать, а потом слагать: 3 + 1 + 4 · 5 = 3 + 1 + 20 = 24 . Подставив найденные значения в исходное выражение, вычислим ответ: 4 + 24 = 28 .
Ответ: 4 + ( 3 + 1 + 4 · ( 2 + 3 ) ) = 28 .
Иначе говоря, при вычислении значения выражения, включающего скобки в скобках, мы начинаем с внутренних скобок и продвигаемся к внешним.
Допустим, нам надо найти, сколько будет ( 4 + ( 4 + ( 4 − 6 : 2 ) ) − 1 ) − 1 . Начинаем с выражения во внутренних скобках. Поскольку 4 − 6 : 2 = 4 − 3 = 1 , исходное выражение можно записать как ( 4 + ( 4 + 1 ) − 1 ) − 1 . Снова обращаемся к внутренним скобкам: 4 + 1 = 5 . Мы пришли к выражению ( 4 + 5 − 1 ) − 1 . Считаем 4 + 5 − 1 = 8 и в итоге получаем разность 8 — 1 , результатом которой будет 7 .
Порядок вычисления в выражениях со степенями, корнями, логарифмами и иными функциями
Если у нас в условии стоит выражение со степенью, корнем, логарифмом или тригонометрической функцией (синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом) или иными функциями, то первым делом мы вычисляем значение функции. После этого мы действуем по правилам, указанным в предыдущих пунктах. Иначе говоря, функции по степени важности приравниваются к выражению, заключенному в скобки.
Разберем пример такого вычисления.
Условие: найдите, сколько будет ( 3 + 1 ) · 2 + 6 2 : 3 − 7 .
Решение
У нас есть выражение со степенью, значение которого надо найти в первую очередь. Считаем: 6 2 = 36 . Теперь подставим результат в выражение, после чего оно примет вид ( 3 + 1 ) · 2 + 36 : 3 − 7 .
Дальше действуем по знакомому алгоритму: считаем, сколько у нас получится в скобках, потом в оставшемся выражении выполняем умножение и деление, а следом – сложение и вычитание (слагаемое и вычитаемое).
( 3 + 1 ) · 2 + 36 : 3 − 7 = 4 · 2 + 36 : 3 − 7 = 8 + 12 − 7 = 13
Ответ: ( 3 + 1 ) · 2 + 6 2 : 3 − 7 = 13 .
В отдельной статье, посвященной вычислению значений выражений, мы приводим и другие, более сложные примеры подсчетов в случае выражений с корнями, степенью и др. Рекомендуем вам с ней ознакомиться.
Что идет первым плюс или минус
В мире математики существует множество правил, которые помогают решать задачи и делать вычисления без ошибок. Однако, даже самые элементарные операции могут вызвать затруднения. Например, каждый из нас иногда задумывается, что же идет первым – плюс или минус. В этой статье мы попытаемся разобраться в этом вопросе и выяснить, какие правила следует применять при решении математических задач.
Речь пойдет о приоритетности операций, которую необходимо учитывать при вычислении выражений. Знание этой темы поможет избежать ошибок при решении даже самых простых задач. В статье мы рассмотрим основные правила, которые помогут определить, что идет первым – плюс или минус. Также мы рассмотрим несколько примеров, чтобы дать более полное представление о том, как применять правила в практических задачах.
Пристегните ремни, мы начинаем изучение правил математики!
Плюс или минус: кто первый?
Математика это дисциплина, которая занимается изучением чисел, их свойств и взаимоотношений. Одно из первых понятий, которое изучают в математике, это сложение и вычитание. Но что идет первым: плюс или минус?
Ответ на этот вопрос очевиден: плюс. Операция сложения стоит первой, а знак «плюс» используют для показа суммы двух или более чисел. Например: 2 + 2 = 4. Здесь «плюс» — это знак, который показывает, что два числа нужно сложить.
Знак «-» используют для вычитания чисел. Но как же быть, если мы хотим сложить число с отрицательным числом? В таком случае используются правила упрощения уравнений. Например:
- 5 + (-2) = 3
- 10 — (-4) = 14
Здесь мы видим, что знак «плюс» стоит перед отрицательным числом, чтобы показать, что мы хотим их сложить.
В заключение, «плюс» идет первым в математике перед «минусом». Он используется для сложения чисел и образования положительного числа, в то время как «минус» — для вычитания чисел и образования отрицательного числа.
Правила математики
Математика имеет свои четкие правила, которые необходимо знать и применять в решении задач. Она основана на системе символов и операций, которые представляют собой логические операции. Это позволяет получить точный и однозначный ответ на любые задачи.
Одним из основных правил математики является коммутативность. Оно гласит, что порядок операций не влияет на результат их выполнения. Например, при сложении чисел 2 и 3, ответ будет одинаковым вне зависимости от порядка: 2+3=5 и 3+2=5.
Еще одним правилом математики является ассоциативность. Она означает, что порядок выполнения операций в случае одинаковых знаков не влияет на итоговый результат. Например, при умножении чисел 2, 3 и 4, возможны два варианта: (2*3)*4=24 и 2*(3*4)=24.
Также в математике существуют правила приоритета операций. Они задают порядок выполнения операций в формулах. Сначала выполняются операции в скобках, затем умножение и деление, а уже потом сложение и вычитание. Например, в формуле 4+5*6/3 заключенное в скобки 5*6 выполняется первым, а затем результат делится на 3 и складывается с 4.
Наконец, к числовым правилам математики следует добавить правила работы со знаками. Знаки можно складывать или вычитать независимо от чисел, однако при умножении или делении их следует учитывать. Минус перед числом делает его отрицательным, а перед скобками изменяет знак всех чисел внутри.