Как найти результирующую силу зарядов

Закон Кулона

Между электрическими зарядами действует сила. Как она зависит от величины зарядов и других факторов?
Этот вопрос исследовал в 1780-е годы французский физик Шарль Кулон (1736-1806). Он воспользовался крутильными весами, очень похожими на те, которые применял Кавендиш для определения гравитационной постоянной.
Если к шарику на конце стержня, подвешенного на нити, подности заряд, стержень слегка отклоняется, нить закручивается, и угол поворота нити будет пропорционален действующей между зарядами силе (крутильные весы). С помощью этого прибора Кулон определил зависимость силы от величины зарядов и расстояния между ними.

В те времена еще не было приборов для точного определения величины заряда, но Кулон сумел приготовить небольшие шарики с известным соотношением зарядов. Если заряженный проводящий шарик, рассуждал он, привести в соприкосновение с точно таким же незаряженным шариком, то имевшийся на первом заряд в силу симметрии распределится поровну между двумя шариками.
Это дало ему возможность получать заряды, составлявшие 1/2, 1/4 и т.д. от первоначального.
Несмотря на некоторые трудности, связанные с индуцированием зарядов, Кулону удалось доказать, что сила, с которой одно заряженное тело действует на другое малое заряженное тело, прямо пропорциональна электрическому заряду каждого из них.
Другими словами, если заряд любого из этих тел удвоить, то удвоится и сила; если же удвоить одновременно заряды обоих тел, то сила станет вчетверо больше. Это справедливо при условии, что расстояние между телами остается постоянным.
Изменяя расстояние между телами, Кулон обнаружил, что действующая между ними сила обратно пропорциональна квадрату расстояния: если расстояние, скажем, удваивается, сила становится вчетверо меньше.

Итак, заключил Кулон, сила, с которой одно малое заряженное тело (в идеальном случае -точечный заряд, т.е. тело, подобно материальной точке не имеющее пространственных размеров) действует на другое заряженное тело, пропорциональна произведению их зарядов Q1 и Q2 и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними:

Здесь k -коэффициент пропорциональности.
Это соотношение известно как закон Кулона; его справедливость подтверждена тщательными экспериментами, гораздо более точными, чем первоначальные трудно воспроизводимые опыты Кулона. Показатель степени 2 установлен в настоящее время с точностью 10 -16 , т.е. он равен 2 ± 2×10 -16 .

Коль скоро мы теперь имеем дело с новой величиной — электрическим зарядом, мы можем подобрать такую единицу измерения, чтобы постоянная к в формуле равнялась единице. И действительно, такая система единиц еще недавно широко использовалась в физике.

Речь идет о системе СГС (сантиметр-грамм-секунда), в которой используется электростатическая единица заряда СГСЭ. По определению два малых тела, каждое с зарядом 1 СГСЭ, расположенные на расстоянии 1 см друг от друга, взаимодействуют с силой 1 дина.

Теперь, однако, заряд чаще всего выражают в системе СИ, где его единицей является кулон (Кл).
Точное определение кулона через электрический ток и магнитное поле мы приведем позднее.
В системе СИ постоянная k имеет величину k = 8,988×10 9 Нм 2 /Кл 2 .

Заряды, возникающие при электризации трением обычных предметов (расчески, пластмассовой линейки и т.п.), по порядку величины составляют микрокулон и меньше (1 мкКл = 10 -6 Кл).
Заряд электрона (отрицательный) приблизительно равен 1,602×10 -19 Кл. Это наименьший известный заряд; он имеет фундаментальное значение и обозначается символом е, его часто называют элементарным зарядом.
е = (1,6021892 ± 0,0000046)×10 -19 Кл, или е ≈ 1,602×10 -19 Кл.

Поскольку тело не может приобрести или потерять долю электрона, суммарный заряд тела должен быть целым кратным элементарного заряда. Говорят, что заряд квантуется (т.е. может принимать лишь дискретные значения). Однако, поскольку заряд электрона е очень мал, мы обычно не замечаем дискретности макроскопических зарядов (заряду 1 мкКл соответствуют примерно 10 13 электронов) и считаем заряд непрерывным.

Формула Кулона характеризует силу, с которой один заряд действует на другой. Эта сила направлена вдоль линии, соединяющей заряды. Если знаки зарядов одинаковы, то силы, действующие на заряды, направлены в противоположные стороны. Если же знаки зарядов различны, то действующие на заряды силы направлены навстречу друг другу.
Заметим, что в соответствии с третьим законом Ньютона сила, с которой один заряд действует на другой, равна по величине и противоположна по направлению силе, с которой второй заряд действует на первый.
Закон Кулона можно записать в векторной форме подобно закону всемирного тяготения Ньютона:

где F₁₂ — вектор силы, действующей на заряд Q1 со стороны заряда Q2,
— расстояние между зарядами,
— единичный вектор, направленный от Q2 к Q1.
Следует иметь в виду, что формула применима лишь к телам, расстояние между которыми значительно больше их собственных размеров. В идеальном случае это точечные заряды. Для тел конечного размера не всегда ясно, как отсчитывать расстояние r между ними, тем более что распределение заряда может быть и неоднородным. Если оба тела — сферы с равномерным распределением заряда, то r означает расстояние между центрами сфер. Важно также понимать, что формула определяет силу, действующую на данный заряд со стороны единственного заряда. Если система включает несколько (или много) заряженных тел, то результирующая сила, действующая на данный заряд, будет равнодействующей (векторной суммой) сил, действующих со стороны остальных зарядов. Постоянная к в формуле Закона Кулона обычно выражается через другую константу, ε₀, так называемую электрическую постоянную, которая связана с k соотношением k = 1/(4πε₀). С учетом этого закон Кулона можно переписать в следующем виде:

где с наивысшей на сегодня точностью

Запись большинства других уравнений электромагнитной теории упрощается при использовании ε₀, поскольку 4π в окончательном результате часто сокращается. Поэтому мы будем обычно использовать Закон Кулона, считая, что:

Закон Кулона описывает силу, действующую между двумя покоящимися зарядами. Когда заряды движутся, между ними возникают дополнительные силы, и их мы обсудим в последующих главах. Здесь же рассматриваются только покоящиеся заряды; этот раздел учения об электричестве называется электростатикой.

Продолжение следует. Коротко о следующей публикации:

Электрическое поле — один из двух компонентов электромагнитного поля, представляющий собой векторное поле, существующее вокруг тел или частиц, обладающих электрическим зарядом, либо возникающий при изменении магнитного поля.

Глава 16. Электризуемся: изучаем статическое электричество

Вокруг нас все пронизано электричеством. В каждом атоме его собственные заряды вращаются с невероятной скоростью. Иногда электрические заряды проявляются совершенно неожиданно, например, ощущаются, как острое покалывание в момент касания наэлектризованной металлической дверной ручки или дверцы автомашины. А порой, наоборот, включая электрический свет, мы внезапно узнаем, что так остро необходимые электрические заряды куда-то пропали.

В этой главе повествование курса постепенно “электризуется”: в ней описываются причины того, почему избыток заряда на нашей одежде (например, из-за скопления слишком большого количества электронов) доставляет нам столь острые ощущения в момент разряда. Это пример типичного проявления статического электричества. Кроме того, в этой и следующей главах говорится о том, как ведут себя электрические заряды и как они становятся тем, что принято называть электрическим током. В данной главе речь идет об электрических зарядах, электрическом потенциале, электрических полях, силах, действующих между зарядами, и о многом другом. А все это начинается с мельчайших носителей заряда.

Плюс и минус: заряды электрона и протона

Атомы состоят из ядра с заряженными протонами и нейтральными нейтронами, а также из легких заряженных электронов, стремительно вращающихся вокруг ядра.

У заряженных частиц, электронов и протонов одинаковая величина заряда, равная:

где Кл означает кулон — используемая в СИ единица заряда (см. главу 2). Заряды протона и электрона соответственно равны +1,6·10 -19 Кл и -1,6·10 -19 Кл (считать заряд электрона отрицательным — это не более чем достигнутая в свое время договоренность). Таким образом, электроны — это частицы-носители электричества: как статического — при отсутствии движения заряженных частиц, так и динамического — с учетом движения заряженных частиц (например, электрический ток, который протекает по проводам). Итак, если имеется заряд, равный целому кулону, то какому количеству электронов он соответствует? Поскольку величина заряда каждого электрона равна 1,6·10 -19 Кл, то получается, что:

Итак, чтобы получить заряд в 1 Кл, надо собрать 6,25·10 18 электронов. Но если собрать вместе огромное количество электронов, то произойдет интересная вещь. Электроны разлетятся в сторону, подобно родственникам, разбегающимся в конце скучного семейного мероприятия.

Тяни и толкай: электрические силы

Воздействие электрических зарядов друг на друга проявляется в виде силы. Например, чтобы удержать в одном месте 6,25·10 18 электронов, придется приложить немало усилий. Все объекты вокруг нас содержат электрические заряды, но если некий объект имеет избыточное количество электронов, то он обладает суммарным отрицательным зарядом, а если, наоборот, электронов ему не хватает, то этот объект обладает суммарным положительным зарядом.

Как известно, одноименные полюсы магнитов отталкиваются, а разноименные — притягиваются. На рис. 16.1 показаны шарики, подвешенные на ниточках и имеющие электрический заряд. Так вот, как и в случае с магнитами, пары шариков с одноименными зарядами (+ и + или — и -) будут отталкиваться друг от друга, а пары с разноименными зарядами (+ и — или — и +) — наоборот, притягиваться друг к другу.

Подбираемся к закону Кулона

Недостаточно просто говорить о положительности или отрицательности заряда, надо еще указывать их числовые значения. Насколько велики силы, действующие между заряженными телами? Это зависит от того, насколько велики заряды и насколько далеко они находятся друг от друга. В главе 5 говорится о другой силе, действующей между телами, — силе всемирного тяготения:

где ​ \( F \) ​ — это сила, ​ \( G \) ​ — универсальная гравитационная постоянная, ​ \( m_1 \) ​ — масса первого тела, \( m_2 \) — масса второго, а ​ \( r \) ​ — расстояние между ними. Аналогично, в результате лабораторных измерений можно убедиться, что сила взаимодействия электрических зарядов выражается таким образом:

В данном случае \( q_1 \) и \( q_2 \) — это два взаимодействующих заряда, измеренных в кулонах, ​ \( r \) ​ — расстояние между ними, а ​ \( k \) ​ — коэффициент пропорциональности.

(В системе СГСЭ единица измерения заряда выбрана таким образом, что коэффициент ​ \( k \) ​ = 1, а сам символ \( k \) принято опускать в формуле закона Кулона. В системе СИ ​ \( k \) ​ ≈ 8,99·10 9 Н·м 2 ·Кл -2 , причем обычно он выражается формулой:

где ​ \( \delta_0 \) ​ ≈ 8,85·10 -12 Кл 2 ·Н -1 ·м -2 — электрическая постоянная. Здесь и далее автор использует систему СИ. — Примеч. ред.)

Формула ​ \( F=kq_1q_2/r^2 \) ​ называется законом Кулона. Этот закон определяет величину силы, действующей между электрическими зарядами. Обратите внимание, что если заряды имеют одинаковый знак, то действующая между ними сила является положительной, т.е. заряды будут отталкиваться друг от друга. А если заряды имеют противоположные знаки, то действующая между ними сила является отрицательной, т.е. заряды будут притягиваться друг к другу.

Притягиваем заряды

Важным компонентом закона Кулона является расстояние между заряженными телами (см. два предыдущих раздела). Допустим, два точечных объекта разнесли на 1 м друг от друга и придали каждому из них заряд в 1 Кл: одному — отрицательный, а другому — положительный. Какую силу нужно приложить, чтобы преодолеть их притяжение друг к другу? Подставим численные значения в формулу закона Кулона:

Чтобы не дать шарикам сойтись, нужно приложить силу в 8,99·10 9 Н. Значение неправдоподобно большое — оно равносильно весу груза с массой примерно 560000 т или весу 10 наполненных нефтяных танкеров. Забавный вывод: следует хорошо подумать, прежде чем придавать точечным объектам заряды в 1 Кл. Как видите, между такими зарядами возникает чудовищно большое электрическое взаимодействие.

Вычисляем скорость электронов

Благодаря круговой орбите электрона можно связать между собой две силы: электростатическую и центростремительную (глава 10). Известно, что каждый атом водорода состоит из одного электрона, который вращается вокруг одного протона. Размеры атома водорода слишком малы, чтобы все это увидеть, но известно, что электрон носится вокруг протона очень быстро. Тогда возникает вопрос — насколько быстро? Как известно, между протоном и электроном действует электростатическая сила притяжения. При условии, что орбита электрона круговая, эта сила обеспечивает центростремительную силу (глава 10). Таким образом, электростатическую силу по закону Кулона можно приравнять к центростремительной силе:

Масса электрона и радиус его орбиты равны соответственно 9,1·10 -31 кг и 5,29·10 -11 м. Итак, взяв значения, требуемые для вычисления электростатической силы (константу ​ \( k \) ​, а также заряды электрона и протона), получим:

Полученная сила, действующая между электроном и протоном, обеспечивает центростремительную силу, поэтому:

Вычисление дает для ​ \( v \) ​ значение 2,19·10 6 м/с или около 7,88 млн. км/ч! Попробуйте представить себе эту скорость; она равна где-то 1% от скорости света.

Изучаем силы, действующие между несколькими зарядами

Если в задаче рассматривается взаимодействие зарядов, то совсем не обязательно, что их будет только два. И если зарядов все-таки больше двух, то для вычисления результирующей силы, приложенной к любому из них, придется использовать векторы. (Подробнее о векторах можно узнать в главе 4.)

Посмотрите на рис. 16.2, где показаны три взаимодействующие заряда: один положительный и два отрицательных. Какова результирующая сила, действующая на положительный заряд?

На положительный заряд ​ \( Q \) ​ действуют силы, вызванные двумя отрицательными зарядами ​ \( Q_1 \) ​ и \( Q_2 \) ; на рис. 16.2 эти силы обозначены, как \( F_1 \) и \( F_2 \) . Суммой \( F_1 \) и \( F_2 \) является \( F_ <рез>\) . Пусть \( Q_1 \) = \( Q_2 \) = -1,0·10 -8 Кл, ​ \( Q \) ​ = 3,0·10 -8 Кл, а все заряды, как показано на рисунке, расположены на осях X и Y в 1,0 см от начала координат. Чему равна \( F_ <рез>\) ? С помощью теоремы Пифагора (глава 2) получаем ​ \( \theta \) ​ = 45°. По величине ​ \( F_1=F_2 \) ​, поэтому:

Какова величина \( F_1 \) ?

Итак, \( F_1 \) равняется 1,9·10 -2 Н, и можно найти результирующую силу, действующую на положительный заряд:

Итак, величина результирующей силы, действующей на положительный заряд, получена в виде векторной суммы (глава 4) и равняется 2,7·10 -2 Н.

Действие на расстояние: электрические поля

Чтобы найти силу, действующую между двумя зарядами, надо знать величину (значение) каждого из них. А когда зарядов целое множество, то не исключено, что и их значений также целое множество. Что если к имеющемуся множеству зарядов кто-то другой захочет добавить еще и пробный заряд (т.е. заряд, используемый специально для измерения действующих на него сил)? Допустим, что величина этого нового пробного заряда не известна. Может, 1 Кл? А почему бы не 1,0·10 -8 Кл или 1,0·10 3 Кл?

Чтобы описать, как имеющееся множество зарядов будет воздействовать на чей-то другой пробный заряд, физики ввели понятие электрическое поле. Для определения силы взаимодействия поля от имеющегося множества зарядов достаточно умножить величину пробного заряда на величину напряженности поля в той точке, где он находится. Вот как определяется напряженность ​ \( \mathbf \) ​ электрического поля:

где \( \mathbf \) обозначает силу, действующую на пробный заряд со стороны имеющегося множества зарядов, a ​ \( q \) ​ — величина пробного заряда. Напряженность выражается в ньютонах на один кулон (Н·Кл -1 ). Обратите внимание, что речь идет о векторной величине, т.е. имеющей модуль и направление (глава 4).

Другими словами, напряженность электрического поля в той или иной точке — это сила, которая бы действовала в ней на пробный заряд в один кулон. Направление напряженности совпадает с направлением силы, вызываемой в данной точке каким-либо положительным зарядом.

Представим, что вы перемещаете по горизонтали заряд в 1 Кл. День солнечный, погода прекрасна, но тут нежданно-негаданно заряд оказывается в электрическом поле с напряженностью 5 Н/Кл, направленной противоположно его движению (рис. 16.3).

Что же происходит? На объект с зарядом 1 Кл внезапно действует сила, направленная противоположно его движению:

Если изменить направление движения объекта с зарядом 1 Кл, то эта сила будет направлена уже по ходу его движения. Польза понятия “электрическое поле” состоит в следующем: по напряженности поля можно определить силу, действующую на заряд в этом поле. Если заряд в точке положительный, то направление этой силы будет совпадать с направлением напряженности поля в этой точке, а если заряд отрицательный, то сила будет направлена в противоположную сторону.

Так как напряженность электрического поля в любой точке — это результирующий вектор (обладающий, как известно, величиной и направлением), то его можно вычислить путем сложения составляющих его векторов (об особенностях такого сложения говорится в главе 4). Посмотрите на рис. 16.4, где показаны (в виде векторов напряженности) два исходных электрических поля, “горизонтальное” и “вертикальное”, расположенные в одной и той же области. Образуемое ими общее электрическое поле имеет напряженность, равную векторной сумме их напряженностей.

По всем направлениям: электрические поля от точечных зарядов

Не все электрические поля выглядят так просто как те, что показаны на рис. 16.3. Как, например, выглядит электрическое поле от точечного заряда? Под точечным подразумевается заряд очень малого физического объекта. Известно, что заряд ​ \( Q \) ​ создает электрическое поле, но какое? Благодаря формуле напряженности электрического поля, ​ \( E=F/q \) ​, ответить на этот вопрос достаточно просто. Пусть имеется пробный заряд ​ \( q \) ​, с помощью которого можно в разных точках измерять силу, вызываемую зарядом ​ \( Q \) ​. Вот эта сила, вычисляемая по формуле из предыдущего раздела этой главы:

Итак, чему равна напряженность электрического поля? Надо разделить эту силу на величину пробного заряда ​ \( q \) ​:

Напряженность электрического поля от точечного заряда — это ​ \( E=kQ/r^2 \) ​. Она является вектором (глава 4), но куда направлен этот вектор? Чтобы узнать это, вернемся к пробному заряду ​ \( q \) ​ и предположим, что он является положительным (помните, что напряженность электрического поля определяется как сила, действующая на положительный заряд в один кулон).

В любом месте электрического поля сила, действующая из ​ \( Q \) ​ на \( q \) , является радиальной, т.е. направленной по прямой, которая соединяет центры двух зарядов. Если заряды \( Q \) и \( q \) положительны, то сила, действующая на \( q \) , будет направлена не к \( Q \) , а в противоположную сторону. Таким образом, напряженность электрического поля в любой точке будет также направлена в противоположную от \( Q \) сторону. Это можно увидеть на рис. 16.5, где электрическое поле изображено в виде так называемых линий поля, использовать которые впервые предложил Майкл Фарадей в XIX веке.

Глядя на линии поля, можно получить хорошее качественное представление электрического поля (не путать с количественным представлением, т.е. в виде \ У ^ / чисел). И когда в точке А линии поля ближе друг к другу, чем в точке В, то это значит, что в точке А поле сильнее, чем в точке В. Кроме того, обратите внимание, что линии поля расходятся от положительных зарядов и, наоборот, сходятся к отрицательным зарядам (рис. 16.5).

Как определить величину электрического поля от нескольких зарядов? В таком случае напряженности полей в каждой точке надо складывать как векторы. Например, имея два точечных заряда, положительный и отрицательный, получим электрическое поле, показанное на рис. 16.6.

Линии поля (как те, что показаны на рис. 16.6) начинаются на положительном заряде и заканчиваются на отрицательном заряде, т.е. они не могут начинаться или заканчиваться в точке пространства без заряда.

Заряжаем конденсатор: электрические поля между плоскими пластинами

Вычисление электрического поля от множества точечных зарядов, о котором говорилось в предыдущем разделе, в общем случае представляет собой довольно сложную задачу сложения векторов (глава 4). Чтобы облегчить себе жизнь, физики используют модели простых полей. Рассмотрим модель простого поля в плоском конденсаторе. Вообще говоря, конденсатором (не обязательно плоским) называется объект, способный сохранять заряд: положительный и отрицательный заряды хранятся отдельно, чтобы они притягивались друг к другу, но не могли самостоятельно соединиться.

На рис. 16.7 показан пример конденсатора с двумя плоскими пластинами: на одной пластине равномерно распределен заряд ​ \( +q \) ​, а на другой — заряд ​ \( -q \) ​. Все компоненты напряженностей полей, созданных точечными зарядами, на этих пластинах взаимно компенсируют друг друга, за исключением тех компонент, которые направлены перпендикулярно пластинам. Другими словами, между параллельными пластинами конденсатора создаются постоянные электрические поля, работать с которыми легче, чем с полями точечных зарядов.

В результате достаточно долгих вычислений можно сделать вывод, что электрическое поле между пластинами постоянно (если пластины находятся друг от друга достаточно близко), а его напряженность равна:

где ​ \( \varepsilon_0 \) ​ — это электрическая постоянная, равная 8,85·10 -12 Кл 2 ·Н -1 ·м -2 (см. один из предыдущих разделов этой главы), ​ \( q \) ​ — общий заряд на каждой из пластин (на одной и на другой из них заряд соответственно равен \( +q \) и \( -q \) ), \( A \) — это площадь каждой пластины. Формулу еще можно записать с помощью плотности заряда ​ \( \sigma \) ​ на каждой пластине, где ​ \( \sigma=q/A \) ​ (заряд, приходящийся на единицу площади). Тогда формула будет выглядеть таким образом:

Модель плоского конденсатора значительно облегчает жизнь физика потому, что напряженность электрического поля постоянна и имеет постоянное направление (с положительной пластины на отрицательную), поэтому для вычисления напряженности поля не важно, в каком месте между пластинами измеряется напряженность поля.

Повышаем напряжение: электрический потенциал

Электрические поля (см. предыдущий раздел) — это еще не все, что относится к электричеству. Для изучения электричества придется использовать и другие понятия. Например, для работы с электрическими силами удобно использовать понятие потенциальной энергии, или энергии, “запасенной” в теле или в системе тел. В механике вполне естественно связывают работу силы и потенциальную энергию: например, подъем груза в поле силы тяжести связывается с увеличением потенциальной энергии ​ \( \Delta W \) ​, т.е. энергии, накапливаемой в теле благодаря его новому положению:

где ​ \( m \) ​ означает массу, ​ \( g \) ​ — ускорение свободного падения в поле силы тяжести, ​ \( h_1 \) ​ и \( h_2 \) — соответственно конечную и начальную высоту. Так как в электрическом поле на заряды действует сила, то можно говорить о потенциальной энергии и в электрических полях. Такой энергией является потенциальная энергия электрического поля, а ее изменение создает новую величину, которая называется напряжением и является движущей силой электрического тока.

Вычисляем потенциальную энергию электрического поля

Потенциальная энергия электрического поля — это потенциальная энергия, “запасенная” в электрическом поле. При знакомстве с понятием энергии в главе 8 мы также познакомились с понятием работы. Предположим, что положительный заряд перемещается по направлению к положительно заряженной пластине, как показано на рис. 16.8. Как они будут взаимодействовать друг с другом? Линии поля идут от положительных зарядов к отрицательным, а показанный на рисунке одиночный положительный заряд взаимодействует с положительно заряженной пластиной. Поскольку этот заряд имеет положительный знак, то действующая на него сила будет отталкивать его от положительно заряженной пластины, то есть вправо в плоскости рисунка. Кроме того, одиночный заряд будет притягиваться отрицательно заряженной пластиной справа от него.

Итак, каким будет изменение потенциальной энергии положительного заряда при перемещении его между пластинами справа налево против силы, направленной в обратную сторону? Работа ​ \( A \) ​ по перемещению заряда должна равняться увеличению его потенциальной энергии. Формула такой работы имеет следующий вид:

где ​ \( F \) ​ и ​ \( s \) ​ означают соответственно силу и перемещение. Сила, приложенная к положительному заряду, равна ​ \( qE \) ​, где ​ \( q \) ​ — это величина заряда, а ​ \( E \) ​ — напряженность электрического поля, в котором он находится. В результате получаем для формулы работы следующее выражение:

Эта величина работы равна увеличению потенциальной энергии заряда ​ \( \Delta W \) ​. Если электрическое поле постоянно по направлению к модулю напряженности, то можно сказать, что изменение потенциальной энергии:

Для характеристики электрического поля физики придумали понятие напряженность электрического поля, которая определяется, как сила, действующая со стороны поля на точечный объект с зарядом 1 Кл (см. один из предыдущих разделов этой главы о действии на расстоянии с помощью электрического поля). Аналогично, для характеристики изменения потенциальной энергии электрического поля между точками А и Б физики ввели понятие электрическое напряжение.

Потенциалы и напряжение

На языке физики напряжение — это разность электрических потенциалов (т.е. потенциальной энергии электрического поля, приходящейся на единицу заряда), или просто разность потенциалов. Эта величина определяется как отношение работы электрического поля при переносе пробного заряда из точки А в точку Б к величине пробного заряда. Единицей измерения напряжения в системе СИ является вольт (В), 1 В = 1 Дж/1 Кл. Напряжение обозначается символом ​ \( U \) ​.

Электрический потенциал ​ \( U \) ​ в определенной точке представляет собой электрическую потенциальную энергию ​ \( W \) ​ пробного заряда, деленную на величину этого заряда ​ \( q \) ​:

Таким образом, напряжение — это изменение потенциальной энергии заряда в один кулон. Работа ​ \( A \) ​ по перемещению в плоском конденсаторе положительного заряда ​ \( q \) ​ с отрицательной пластины на расстояние ​ \( s \) ​ по направлению к положительной пластине (см. выше) равна:

Эта работа равна изменению потенциальной энергии заряда при перемещении на расстояние ​ \( s \) ​ от отрицательной пластины, поэтому потенциал в месте нахождения заряда вычисляется по следующей формуле:

Предположим, что ваше внимание привлекла машина, стоящая на обочине дороги с открытым капотом. На вопрос: “В чем дело?” водитель отвечает: “Машина не едет”.

Желая помочь бедняге, вы достаете свой вольтметр и пытаетесь протестировать аккумулятор машины. Вольтметр показывает 12 В и, похоже, проблема совсем не в этом, но поскольку вы увлечены самим процессом изучения электричества, то вас уже не остановить.

Если 12 В — это изменение потенциальной энергии при перемещении заряда в один кулон от одной клеммы аккумулятора к другой, то какую работу нужно выполнить для перемещения между этими клеммами одного электрона? Как известно:

Попавший в затруднение водитель с интересом наблюдает за этими манипуляциями. Поскольку величина заряда электрона равна 1,6·10 -19 Кл (см. выше первый раздел в этой главе о заряде электрона и протона), то, подставляя в эту формулу численные значения, получим:

Спустя несколько мгновений вы гордо заявляете: “На перемещение одного электрона между клеммами аккумулятора требуется 1,92·10 -18 джоулей”.

У водителя пропадает всякая надежда, и не удивительно, что после ваших слов он смотрит на вас со странным выражением лица…

Оказывается, энергия сохраняется даже в электрическом поле

Как известно, при переходе системы объектов из состояния 1 с полной энергией ​ \( E_1 \) ​ в состояние 2 с полной энергией \( E_2 \) (где полная энергия является суммой кинетической ​ \( K \) ​ и потенциальной ​ \( W \) ​ энергии, см. главу 8) полная энергия сохраняется:

Оказывается, что полная энергия системы объектов сохраняется и в электрическом поле. Допустим, что пылинка с массой 1,0·10 -5 кг столкнулась с отрицательно заряженной пластиной плоского конденсатора и получила заряд —1,0·10 -5 Кл. Очевидно, что отрицательно заряженная пылинка будет притягиваться положительной пластиной и начнет движение к ней.

Разность потенциалов между пластинами составляет 30 В. Какова будет скорость пылинки, когда она столкнется с положительной пластиной (если не учитывать сопротивление воздуха)? Так как полная энергия сохраняется, то потенциальная энергия пылинки на отрицательной пластине к моменту ее столкновения с положительной пластиной уменьшится на величину возрастания кинетической энергии (​ \( \Delta K=<>^1\!/\!_2mv^2 \) ​). Величину уменьшения потенциальной энергии пылинки можно найти с помощью формулы:

Подставляя в нее численные значения, получим:

Это уменьшение потенциальной энергии превращается в увеличение кинетической энергии:

Подставляя численные значения, получим:

В результате несложных вычислений получим:

Иными словами, пылинка столкнется с положительной пластинкой на скорости, примерно равной 7,75 м/с, или 27,9 км/ч.

Электрический потенциал точечных зарядов

Разность потенциалов, или напряжение ​ \( U \) ​ (см. предыдущий раздел), между пластинами конденсатора зависит от расстояния ​ \( s \) ​ между положительно и отрицательно заряженными пластинами (подробнее о конденсаторах рассказывается выше в этой главе):

Сложнее определить потенциал точечного объекта с зарядом ​ \( Q \) ​, ведь его электрическое поле совсем не такое постоянное, как между пластинами конденсатора. Как вычислить потенциал на произвольном расстоянии от точечного заряда? Сила, действующая на пробный заряд ​ \( q \) ​, вычисляется по формуле:

где ​ \( k \) ​ означает константу, равную 8,99·10 9 Н·м 2 /Кл 2 , а ​ \( r \) ​ — расстояние между точечным объектом с зарядом ​ \( Q \) ​ и пробным зарядом ​ \( q \) ​.

Напомним, что напряженность ​ \( E \) ​ в любой точке вокруг точечного заряда ​ \( Q \) ​ выражается формулой:

Итак, чему равен электрический потенциал точечного заряда? На бесконечности он равен нулю.

Если перенести пробный заряд на более близкое расстояние ​ \( r \) ​ от точечного заряда, то изменение его потенциала ​ \( U \) ​ будет равно выполненной работе ​ \( A \) ​, деленной на величину пробного заряда ​ \( q \) ​:

Это потенциал в вольтах, полученный для любой точки на расстоянии ​ \( r \) ​ от точечного заряда ​ \( Q \) ​ и равный нулю на расстоянии ​ \( r=\infty \) ​. Сказанное имеет смысл, если не забывать, что потенциал — это работа по переносу пробного заряда в определенное место, деленная на величину пробного заряда. Возьмем, например, протон ​ \( Q \) ​ = +1,6·10 -19 Кл, расположенный в центре атома водорода. На расстоянии 5,29·10 -11 м от протона по свой обычной орбите движется электрон. Какой потенциал будет на таком расстоянии от протона? Вам известно, что:

Подставив в формулу числа, получаем:

Итак, электрический потенциал на указанном расстоянии от протона равен 27,2 В. А это немало для столь крошечного (почти точечного) заряда.

Как и электрические поля, электрический потенциал можно представить графически (только не в виде линий поля, а в виде эквипотенциальных поверхностей). Эквипотенциальными называются поверхности с одинаковым потенциалом. Так как, например, потенциал точечного заряда зависит от расстояния (или радиуса сферы), то эквипотенциальными поверхностями точечного заряда являются сферы, расположенные вокруг этого заряда (рис. 16.9).

А как насчет эквипотенциальных поверхностей между пластинами плоского конденсатора? Как вам известно, при перемещении положительного заряда с отрицательно заряженной пластины на расстояние ​ \( s \) ​ по направлению к положительно заряженной пластине разность потенциалов имеет вид:

Иначе говоря, потенциал на эквипотенциальной поверхности зависит только от расстояния до пластин. Например, на рис. 16.10 две эквипотенциальные поверхности показаны между пластинами конденсатора.

Сохраняем заряд с помощью емкости

Конденсатор способен хранить противоположные электрические заряды. Они удерживаются отдельно так, чтобы они притягивались друг к другу, но не могли самостоятельно соединиться, например перейти с одной пластины на другую в плоском конденсаторе.

Каков заряд конденсатора? Он зависит от емкости ​ \( C \) ​ конденсатора. Заряды на обеих пластинах конденсатора равны друг другу (только противоположны по знаку) и связаны с напряжением ​ \( U \) ​ между пластинами и емкостью \( C \) конденсатора следующей формулой:

где \( q \) и \( C \) — это соответственно заряд и емкость. В плоском конденсаторе напряженность \( E \) электрического поля определяется следующей формулой:

где ​ \( \varepsilon_0 \) ​ — электрическая постоянная, а ​ \( A \) ​ — площадь пластины. Для связи напряжения ​ \( U \) ​ между пластинами, расположенными на расстоянии ​ \( s \) ​ друг от друга, и напряженности ​ \( E \) ​ электрического поля используется следующая формула:

Так как ​ \( q = CU \) ​, то из предыдущей формулы получим:

В системе СИ единицей измерения емкости является фарада (Ф), 1 Ф = 1 Кл/1 В.

Неплохо, но это еще не все. В большинстве конденсаторов между пластинами находится не воздух, а специальный наполнитель — диэлектрик. Диэлектрик — это материал, который плохо проводит электрический ток и увеличивает емкость конденсатора пропорционально своей диэлектрической проницаемости \( \varepsilon \) . Итак, если пространство между пластинами плоского конденсатора заполнено диэлектриком с диэлектрической проницаемостью \( \varepsilon_0 \) , то емкость увеличивается в соответствии с формулой:

Например, диэлектрическая проницаемость слюды (минерала, широко используемого в конденсаторах) примерно равна 5,4, таким образом делая емкость конденсатора примерно в 5,4 раза большей, чем у того же конденсатора с вакуумом между пластинами, потому что диэлектрическая константа вакуума равна 1.

Конденсатор содержит заряды, расположенные отдельно друг от друга, но способные соединиться, и потому обладает связанной с этим потенциальной энергией. Ведь, чтобы разделить эти заряды, нужно затратить определенную работу. Чему равна энергия конденсатора? Путем несложных вычислений можно определить, что энергия конденсатора \( W_c \) равна:

Пусть имеется две незаряженные пластины конденсатора с разностью потенциалов ​ \( U \) ​. Чтобы перенести часть заряда ​ \( dq \) ​ с одной пластины на другой (и таким образом создать заряд ​ \( +dq \) ​ на одной пластине и ​ \( -dq \) ​ на другой), нужно совершить работу ​ \( A=dq\!\cdot\!U \) ​. Поскольку ​ \( q = CU \) ​, то работа \( A=q\!\cdot\!dq/C \) и для определения полной работы по перенесению заряда ​ \( Q \) ​ нужно вычислить интеграл:

Теперь по формуле ​ \( W_c=<>^1\!/\!_2CU^2 \) ​ можно вычислять энергию, хранящуюся в плоском конденсаторе, и выражать ее в джоулях (Дж).

Точечные заряды закреплены на расстоянии

Задача. Точечные заряды нКл и нКл закреплены на расстоянии м друг от друга в вакууме. На средине отрезка прямой, соединяющей заряды, находится третий точечный заряд нКл. Определите модуль результирующей электростатической силы, действующей на третий заряд. Как направлена эта сила?

Дано:

Решение

Думаем: результирующую силу можно найти как векторную сумму сил, действующих на тело.

Для поиска модуля результирующей силы можно воспользоваться или проекцией или теоремами Пифагора, синусов/косинусов (что нам больше подойдёт увидим, когда нарисуем).

Исходя из системы, можем сказать, что на выбранный нами заряд () действуют силы Кулона со стороны других тел. Саму силу Кулона можно найти через:

• где
  • , — взаимодействующие заряды,
  • — расстояние между центрами взаимодействующих зарядов
  • Н*м/Кл — постоянная, характерная для взаимодействия зарядов в вакууме/воздухе.

  Решаем: для визуализации системы нарисуем рисунок по условию задачи (рис. 1).

  Рис. 1. Распределение зарядов в задаче

  Т.к. в рамках задачи все заряды положительны, то выбранный нами заряд () отталкивается двумя другими (рис. 2).

  

  Рис. 2. Расстановка сил в задаче

  где — сила Кулона, действующая со стороны первого заряда на третий, — сила Кулона, действующая со стороны второго заряда на третий.

  Тогда, исходя из (1):

  Проецируем (3) на ось, совпадающую с линией, соединяющей заряды.

  Исходя из (2) найдём значения сил, учитывая, что заряд находится по середине:

  Считаем: зная константы, просто поставим в (7).

  Знак минус говорит о том, что мы ошиблись с направлением. Но модуль силы мы всё равно нашли.

  Как найти результирующую силу зарядов

  

  Формулировки экспериментального закона: результирующая сила Кулона, принцип суперпозиции сил, принцип независимого наложения сил.

  Формула экспериментальной связи физических величин и словесное изложение формулы: F_рез = \(\sum\limits_i <<<\bf>_i>> \) . Каждая пара зарядов взаимодействует по закону Кулона так, будто остальных зарядов нет. Результирующая сила Кулона равна векторной сумме сил Кулона, действующих на исследуемый заряд со стороны каждого из остальных зарядов.

  F_рез = \(\sum\limits_i <<<\bf>_i>> \) = F₁ + F₂ + F₃ +…+ F_i +… Результирующая сила Кулона − это векторная сумма всех сил электростатического взаимодействия, действующих на выделенный заряд со стороны каждого из остальных точечных зарядов; S − математический знак суммирования, заменяет запись F₁ + F₂ + F₃ +…+ F_i +…; i – индекс суммирования, принимает значения i = 1, 2, 3,…; F₁, F₂, F₃,…, F_i,… − все силы Кулона, действующие на выделенный заряд q со стороны всех остальных точечных зарядов q₁, q₂, q₃,…, q_i,… Вектор результирующей силы приложен к заряду и направлен, как векторная сумма всех сил Кулона, действующих на выделенный заряд q со стороны всех остальных точечных зарядов q₁, q₂, q₃,…, q_i,…

  Смысл константы (фундаментальная/нефундаментальная): новой константы не возникает.

  Похожие публикации:

  1. Если не хватило обоев на стену что можно придумать
  2. Для чего нужна компенсация реактивной мощности
  3. Как быстро растет плющ на заборе
  4. Хлопок в квартире что это может быть