Как построить прямой угол с помощью циркуля

Математика

Урок 1: Угол. Прямой и развернутый угол. Чертежный треугольник

Видео
Тренажер
Теория

Введение

Данная тема рассматривалась ранее.

Повторить эту тему можно, перейдя по ссылке

Полный, развернутый, прямой угол

1. Полный угол (см. Рис. 1)

Рис. 1. Полный угол

Стороны угла совпадают.

Меньший угол не виден. Он называется нулевым углом.

Зато второй угол, больший, захватил плоскость полностью. Такой угол называется полным. Вот он имеет для нас важное значение. Поделив его пополам, а потом еще раз пополам, мы получим еще два типа важных углов.

2. Развернутый угол (см. Рис. 2.)

Рис. 2. Развернутый угол

Если стороны угла будут смотреть в разные стороны, составляя прямую, то два полученных угла будут равны друг другу. При этом вместе они составляют полный угол.

То есть угол, образованный такими лучами, является половиной полного угла.

Сам угол похож на то, как если бы ножки циркуля развернули в разные стороны. Угол так и назвали – развернутым.

Поделим уже развернутый угол пополам. Получим два равных угла (см. Рис. 3).

Рис. 3. Прямой угол

Если столб стоит на земле прямо, то мы видим, что углы с двух сторон равны друг другу. Угол так и называется – прямой. Для него вместо дуги договорились использовать специальную отметку, маленький уголок.

Способы черчения углов

1. Чтобы начертить полный угол, нужно из точки провести луч, подразумевая, что это два совпадающих луча.

2. Чтобы начертить развернутый угол, нужно провести прямую и поставить на ней точку. Получим два луча, идущих в разные стороны, то есть развернутый угол.

3. Чтобы начертить прямой угол, легче всего воспользоваться готовым деревянным или металлическим прямым углом, который называется чертежным треугольником, или угольником (см. Рис. 4).

Рис. 4. Чертежный треугольник

Перпендикулярные прямые

Часто уже есть прямая и точка на ней и нужно провести через эту точку вторую прямую под прямым углом к первой.

Совместим угольник одной стороной с имеющейся прямой так, чтобы его вершина совместилась с точкой на прямой. Теперь проведем вторую прямую. Она расположена под прямым углом к первой прямой. Такие прямые называют перпендикулярными (см. Рис. 5).

Рис. 5. Перпендикулярные прямые и угольник

Прямой, острый, тупой угол

Дан развернутый угол (см. Рис. 6).

Рис. 6. Развернутый угол AOB

Поделим его пополам.

Угол – прямой (см. Рис. 7).

Рис. 7. Прямой угол

Угол меньше прямого угла. Такие углы называются острыми (см. Рис. 8).

Рис. 8. Острый угол ЕОВ

Угол больше прямого угла. Такие углы называются тупыми (см. Рис. 9).

Рис. 9. Тупой угол

Итак, все это можно сформулировать короткими определениями:

1. Прямой угол – это половина развернутого угла.

2. Острый угол – это угол меньше прямого.

3. Тупой угол – это угол больше прямого и меньше развернутого.

Различные способы построения прямого угла

Построение прямого угла с помощью циркуля

На листе бумаги можно построить прямой угол, даже если у вас нет угольника.

Помните, что прямой угол – это половина развернутого.

Сначала изобразим развернутый угол (см. Рис. 10).

Рис. 10. Построение прямого угла

Теперь поделим его пополам. Для этого возьмем циркуль и от вершины угла отложим в обе стороны одинаковое расстояние (см. Рис. 11).

Рис. 11. Построение прямого угла (продолжение)

Увеличим чуть-чуть расстояние между ножками циркуля и отложим две дуги с центрами в полученных точках, чтобы они пересеклись над вершиной угла (см. Рис. 12).

Рис. 12. Построение прямого угла (продолжение)

Мы получим новую точку прямо над вершиной . Соединим точки (см. Рис. 13).

Рис. 13. Построение прямого угла (продолжение)

Мы все делили симметрично, углы получились равными, а значит, прямыми.

«Египетский треугольник»

Представьте теперь себе землемера в Древнем Египте. Ему нужно разделить поле на прямоугольники, а для этого нужно уметь делать прямые углы. У него нет огромного деревянного угольника. А даже если бы и был, его же тоже нужно уметь сделать.

Египтяне использовали треугольник со сторонами в соотношении 3:4:5. Один угол этого треугольника прямой. Его потом так и назвали – «египетский треугольник».

Чтобы на земле начертить такой треугольник, можно взять веревку 12 метров, отметить на ней три части – 3, 4 и 5 метров. Концы веревки соединить. В отметках привязать колышки. Натянуть за колышки все части веревки и вбить колышки в землю. Получится египетский треугольник, а значит, один прямой угол (см. Рис. 14).

Рис. 14. «Египетский треугольник»

Отвес

Если у нас ровный пол, то веревка с грузом на конце будет составлять с линией пола прямой угол. Такой инструмент используют строители. Он называется отвес (см. Рис. 15).

Список литературы

Зубарева И.И., Мордкович А.Г. Математика. 5 класс. – М.: Мнемозина, 2013.
Виленкин Н.Я. и др. Математика. 5 кл. – М.: Мнемозина, 2013.
Ерина Т.М. Математика 5кл. Раб. тетрадь к уч. Виленкина, 2013. – М.: Мнемозина, 2013.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

Как построить прямой угол на земле при помощи простейших инструментов?

Можно вывести прямой угол воспользовавшись теоремой Пифагора, на земле надо начертить так называемый "золотой" треугольник.

Соотношение сторон этого треугольника 3:4:5.

Диагональ пять метров.

Не важно в сантиметрах, или миллиметрах, метрах эти размеры, но угол, в этом треугольнике, при этом соотношении всегда будет прямым.

Можно сразу подготовить три верёвки 3-и метра, четыре и пятиметровая, длина верёвки измеряется рулеткой.

Далее вбиваем колышки в землю, на расстоянии друг от друга указанном выше.

Натягиваем верёвку и на финише имеем тот самый прямой угол.

Второй вариант воспользоваться вот таким простеньким строительным угольником,

Далее, если угол в 90-о градусов нужен на большом участке, сбиваем две ровные рейки с углом 90-о градусов, сам угол контролируется угольником.

Нет строительного угольника, можно использовать простенький транспортир.

Это — древнейшая геометрическая задача.

Пошаговая инструкция

1й способ. — С помощью «золотого», или «египетского», треугольника. Стороны этого треугольника имеют соотношение сторон 3:4:5, а угол равен строго 90град. Этим качеством широко пользовались древние египтяне и другие пракультуры.

золотой тр-к

Илл.1. Построение Золотого, или египетского треугольника

Изготавливаем три мерки (или веревочных циркуля – веревка на двух гвоздях или колышках) с длинами 3; 4; 5 метров. Древние в качестве единиц измерения часто пользовались способом завязывания узелков с равными расстояниями между ними. Единица длины — «узелок».
Вбиваем в точке О колышек, цепляем на него мерку «R3 — 3 узелка».
Протягиваем веревку вдоль известной границы – в сторону предполагаемой точки А.
В момент натяжения на линии границы – точка А, вбиваем колышек.
Затем — снова от точки О, протягиваем мерку R4 – вдоль второй границы. Колышек пока не вбиваем.
После этого натягиваем мерку R5 – от А до В.
В месте пересечения мерок R2 и R3 вбиваем колышек. – Это искомая точка В – третья вершина золотого треугольника, со сторонами 3;4;5 и с прямым углом в точке О.

2й способ. С помощью циркуля.

Циркуль может быть веревочный или в виде шагомера. См: . простейший землемерный инструмент

Наш циркуль-шагомер имеет шаг в 1 метр.

Шагомер

Илл.2. Циркуль-шагомер

Построение – также по Илл.1.

От точки отсчета – точки О – угла соседа, проводим отрезок произвольной длины — но больше, чем радиус циркуля = 1м – в каждую сторону от центра (отрезок АВ).
Ставим ногу циркуля в точку О.
Проводим окружность с радиусом (шагом циркуля) = 1м. Достаточно провести короткие дуги – сантиметров по 10-20, в местах пересечения с отмеченным отрезком (через точки А и В.). Этим действием мы нашли равноудаленные точки от центра — А и В. Величина удаления от центра здесь не имеет значения. Можно эти точки просто отметить рулеткой.
Далее нужно провести дуги с центрами в точках А и В, но несколько (произвольно) большего радиуса, чем R=1м. Можно перенастроить наш циркуль на больший радиус, если он имеет регулируемый шаг. Но для такой небольшой текущей задачи не хотелось бы его «дергать». Или когда регулировки нет. Можно сделать за полминуты веревочный циркуль.
Ставим первый гвоздь (или ножку циркуля с радиусом больше, чем 1м) поочередно в точки А и В. И проводим вторым гвоздем — в натянутом состоянии веревки, две дуги — так чтобы они пересеклись друг с дружкой. Можно в двух точках: C и D, но достаточно одной – C. И снова хватит коротких засечек на пересечении в точке С.
Проводим прямую (отрезок) через точки С и D.
Все! Полученный отрезок, или прямая, — есть точное направление на север :). Простите, — на прямой угол.
На рисунке показаны два случая несоответствия границы по участку соседа. На Илл.3а приведен случай, когда забор соседа уходит от нужного направления в ущерб себе. На 3б – он залез на Ваш участок. В ситуации 3а возможно построение двух «направляющих» точек: и C, и D. На 3б же – только С.
Поставьте на углу О колышек, а в точке C — временный колышек, и протяните от С шнур до задней границы участка. – Так, чтобы шнур едва касался колышка О. Замерив от точки О – в направлении D, длину стороны по генплану, получите достоверный задний правый угол участка.

90град по уч соседа

Илл.3. Построение прямого угла – от угла соседа, с помощью циркуля-шагомера и веревочного циркуля

Если у Вас есть циркуль-шагомер, то можно и вовсе обойтись без веревочного. Веревочный в предыдущем примере мы применили для проведения дуг большего радиуса, чем у шагомера. Большего потому, что эти дуги должны где-нибудь пересечься. Для того чтобы дуги можно было провести шагомером с тем же радиусом – 1м с гарантией их пересечения, надо чтобы точки А и В находились внутри окружности c R =1м.

Отмерьте тогда эти равноудаленные точки рулеткой — в разные стороны от центра, но обязательно по линии АВ (линии забора соседа). Чем точки А и В будут ближе к центру – тем дальше от него направляющие точки: C и D, и тем точнее измерения. На рисунке это расстояние принято равным около четверти радиуса шагомера = 260мм.

90град по уч соседа_2

Илл.4. Построение прямого угла с помощью циркуля-шагомера и рулетки

Не менее актуальна эта схема действий и при построении любого прямоугольника, в частности — контура прямоугольного фундамента. Вы получите его идеальным. Его диагонали, конечно, нужно проверить, но разве не уменьшаются усилия? – По сравнению, когда диагонали, углы и стороны контура фундамента двигают туда-сюда, пока углы не сойдутся..

Собственно, мы решили геометрическую задачу на земле. Для того чтобы Ваши действия были более уверенными на участке, потренируйтесь на бумаге – с помощью обычного циркуля. Что ничем в принципе не отличается.